课后限时集训(十四)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．函数y＝4x2＋的单调增区间为()A．(0，＋∞)B.C．(－∞，－1)D.B[函数y＝4x2＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y′＝8x－＝，令y′＞0，得8x3－1＞0.解得x＞，故选B.]2．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)D．[1，＋∞)D[由于f′(x)＝k－，f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f′(x)＝k－≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k≥，而0＜＜1，所以k≥1.即k的取值范围为[1，＋∞)．]3．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为()A．f＞f(1)＞fB．f(1)＞f＞fC．f＞f(1)＞fD．f＞f＞f(1)A[因为f(x)＝xsinx，所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)．所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又x∈时，f′(x)＝sinx＋xcosx＞0，所以此时函数是增函数．所以f＜f(1)＜f.所以f＞f(1)＞f，故选A.]4．已知函数f(x)＝x3－ax，在(－1,1)上单调递减，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B．[3，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，3]B[f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，即a≥3x2在(－1,1)上恒成立，又0≤3x2＜3，则a≥3，故选B.]5．(2019·长春模拟)定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x1＜x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()A．ex1f(x2)＞ex2f(x1)B．ex1f(x2)＜ex2f(x1)C．ex1f(x2)＝ex2f(x1)D．ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定A[设g(x)＝，则g′(x)＝＝，由题意得g′(x)＞0，所以g(x)单调递增，当x1＜x2时，g(x1)＜g(x2)，即＜，所以ex1f(x2)＞ex2f(x1)，故选A.]二、填空题6．函数f(x)＝x2－2lnx的单调递减区间是________．(0,1)[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＜0得0＜x＜1，因此f(x)的单调递减区间为(0,1)．]7．若函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围为________．[3，＋∞)[ 函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，∴f′(x)＝3x2－2ax≤0在(0,2)内恒成立，即a≥x在(0,2)内恒成立． t＝x在(0,2]上的最大值为×2＝3，∴a≥3.]8．已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x(a∈R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是________．(－∞，2]∪[5，＋∞)[f′(x)＝x2－ax＋a－1＝(x－1)·[x－(a－1)] f(x)是区间(1,4)上的单调函数．∴a－1≤1或a－1＞4，解得a≤2或a≥5.]三、解答题9．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝－－(x＞0)，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x，知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝(x＞0)．令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数，综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．10．已知函数f(x)＝x2－2alnx＋(a－2)x，当a＜0时，讨论函数f(x)的单调性．[解]函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－＋a－2＝.①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝≥0，f(x)在(0，＋∞)内单调递增．②当0＜－a＜2，即－2＜a＜0时， 0＜x＜－a或x＞2时，f′(x)＞0；－a＜x＜2时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减．③当－a＞2，即a＜－2时， 0＜x＜2或x＞－a时，f′(x)＞0；2＜x＜－a时，f′(x)＜0，∴f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．综上所述，当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增；当－2＜a＜0时，f(x)在(0，－a)，(2，＋∞)内单调递增，在(－a,2)内单调递减；当a＜－2时，f(x)在(0,2)，(－a，＋∞)内单调递增，在(2，－a)内单调递减．B组能力提升1．(2019·惠州模拟)已知函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)＜，则f(x)＜＋的解集为()A．{x|－1＜x＜1}B．{x|x＜－1}C．{x|x＜－1或x＞1}D．{x|x＞1}D[令φ(x)＝f(x)－－，则φ′(x)＝f′(x)－＜0，...
