用数量积解题易错点分析平面向量的数量积是高中数学的重要概念之一.在学习这一内容时，受实数运算性质的影响，容易产生思维定势，如果进行简单的类比，则会产生知识上的负迁移.下面剖析几例加以说明.1．忽视向量夹角的范围致错例1若两向量满足，，的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．错解：设向量与向量的夹角为，由为钝角，知，故（）（）＝，解得．分析：本题忘了排除，即排除两向量反向时的值．正解：由上面可知，，再设向量与向量反向，则2t（）（），从而解得即当时，两向量夹角为．的取值范围是．2．乱用实数的运算性质致错例2已知平行四边形中，，求的度数．错解：设，，则，，由，故，．分析：一般来说，对于向量，，事实上，，而上述解答两次运用了等式．正解：．，则，用心爱心专心．故为或．例3已知都是非零向量，且向量与垂直，与垂直，求与的夹角．错解：由题意可得，①，②将①，②式展开并相减，得，③因，故，④将代入②，得，则，设与夹角为，，，故．分析：上面解法从表面上看结果是正确的，但认真分析就会发现，上面解法中有一个原则性的错误，即由③得出④．前式的两端均为实数，而后式的两端均为向量，我们并没有学过向量除法，即使，也不能随便约去，这是实数运算与向量运算的重要区别之一．正解：由上面解法，有，，将代入①或②均可得：，则．设与的夹角为，则．，故．3．忽略共线向量致错例4已知同一平面上三向量，两两向量所成的角皆相等．且，求的值．错解：易知皆为非零向量，设两两所成的角都为，则，故，．同理，，．由，．分析：上述解法只考虑到了一种情况，还应考虑当向量共线同向时，两两向量所成角都为，同样符合题意，此时．4．混淆向量平行与线段（直接）平行致错例5已知点．求证：．错证：，用心爱心专心又，，．分析：此题错误的原因是混淆了向量的平行和线段（直线）的平行．平行向量是方向相同或相反的向量．所以，四点共线时，与仍为平行向量，但此时线段与不平行，因为线段（直线）的平行不包括重合的情况，所以此题的正确证法，应在原证法基础上添加：又，，而．与不平行．三点不共线．．用心爱心专心
