课时跟踪训练(十五)导数与函数的单调性[基础巩固]一、选择题1．已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是()[解析]设g(x)＝f′(x)＝2x－2sinx，g′(x)＝2－2cosx≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．[答案]A2．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为()A．(－∞，0)B．(－∞，－2)C．(－2，－1)D．(－2,0)[解析]设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)<0，得－20)的单调递增区间为()A.B．C.D．(－∞，a)[解析]由f′(x)＝－a>0，得00，f′(x)＝1＋.要使函数f(x)＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在x>0上有解，所以a<0.[答案]C6．(2017·湖北襄阳模拟)函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)[解析]由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2.因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B.[答案]B二、填空题7．函数f(x)＝x2－ax－3在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．[解析]f′(x)＝2x－a， f(x)在(1，＋∞)上是增函数，∴2x－a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≤2x，∴a≤2.[答案](－∞，2]8．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为________．[解析]设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－， f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，即函数F(x)在R上单调递减． f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．[答案](－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f(x)＝ax－x3，若对区间(0,1)上的任意x1，x2，且x1x2－x1成立，则实数a的取值范围是________．[解析]问题等价于函数g(x)＝f(x)－x在区间(0,1)上为增函数，即g′(x)＝a－1－3x2≥0，即a≥1＋3x2在(0,1)上恒成立，即a≥4，所以实数a的取值范围是[4，＋∞)．[答案][4，＋∞)三、解答题10．已知函数f(x)＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.2(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝－－，由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x知f′(1)＝－－a＝－2，解得a＝.(2)由(1)知f(x)＝＋－lnx－，则f′(x)＝.令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.因为x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内为增函数．综上，f(x)的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)．[能力提升]11．已知函数f(x)＝xsinx，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为()A．f>f(1)>fB．f(1)>f>fC．f>f(1)>fD．f>f>f(1)[解析]由f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsinx＝f(x)，知f(x)是偶函数．f′(x)＝sinx＋xcosx，当00，所以f(x)在(0，)上为增函数．又0<<1<<，所以ff(1)>f.故选A.[答案]A12．(2017·湖北华北师大附中模拟)若f(x)＝ex＋ae－x为偶函数，则f(x－1)<的解集为()A．(2，＋∞)B．(0,2)C．(－∞，2)D．(－∞，0)∪(2，＋∞)[解析]由f(x)＝ex＋ae－x为偶...
