高考数学 黄金100题系列 第10题 函数的最值与值域 理-人教版高三全册数学试题VIP免费

第10题函数的最值与值域I．题源探究·黄金母题【例1】已知函数，求函数的最大值和最小值．【答案】【解析】设是上的任意两个实数，且，则由，得，所以，即，故在区间上是增函数．因此，函数在区间的左端点处取得最小值，右端点处取得最大值，即最小值是，最大值是．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一第31页例4改编【母题评析】本题利用对函数的单调性的判断或证明，进而利用函数的单调性求出函数在某一闭区间上的最大值和最小值．本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式．【思路方法】利用函数的单调性的定义或借助函数的图象判断函数的单调性，借助函数的单调性研究函数的极值与最值或比较大小或解不等式等．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017浙江卷5】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M–mA．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【命题意图】本类题通常主要考查一些常见函数最值（值域）的求解，类型多，解法灵活．【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B．【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上，且对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值．【例2】【2017浙江卷17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．【答案】【解析】，分类讨论：①当时，，函数的最大值，舍去；②当时，，此时命题成立；③当时，，则：或：，解得：或题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．【难点中心】求函数最值（值域）通性通法：（1）观察法；（2）利用常见函数的最值（值域）；（3）分离常数法；（4）单调性法；（5）换元法；（6）配方法；（7）基本不等式法；（8）判别式法；（9）有界性法；（10）图象法；（11）导数法．综上可得，实数的取值范围是．【考点】基本不等式、函数最值【名师点睛】本题利用基本不等式，由，通过对解析式中绝对值号的处理，进行有效的分类讨论：①当；②；③，问题的难点最要在于对分界点的确认及讨论上，属难题．解题时，应仔细对各个情况进行逐一讨论．【例3】【2017北京卷】已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．【答案】【解析】，所以当时，取最大值1；当时，取最小值；因此取值范围为【考点】二次函数【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了象本题的方法，转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，当，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单．III．理论基础·解题原理一、函数的最值的基本概念设函数的定义域为，如果存在实数满足：(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最大值．(1)对于任意，都有；(2)存在，使得，则为函数的最小值．二、函数最值的有关结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值)．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，可以选择题或填空题，也可以是解答题，难度可以是容易题、中档题，也可以是压轴题，往往与函数的奇偶性、周期有联系以及导数、恒成立等交汇．【技能方法】解决此类问题一般要把先求函数的定义域，在定义域内研究函数的单调性．研究函数的单调性时，可灵活采用定义法、复合法、图象法、导数法，了解函数再定义域内的区间上的单调性，在此基础上再借助函数的奇偶性、周期性、特殊值等，模拟画出函数的图象，最后利用数形结合思想，达到求最值、比较大小、解不等式的目的．【易错指导】（1）灵活选择最优方法求函数值域（最值）；（2）求函数的值域不但要重视对应法则的...