距离和高度问题(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图126，测得下面四组数据，较合理的是()图126A.c与αB.c与bC.b，c与βD.b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】D2.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25nmile/h，15nmile/h，则14时两船之间的距离是()A.50nmileB.70nmileC.90nmileD.110nmile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50nmile，30nmile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝＝70(nmile).【答案】B3.如图127所示，长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα等于()图127A.B.C.D.【解析】由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，得3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.【答案】A4.如图128，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1km，水的流速为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最1短时间为6min，则客船在静水中的速度为()图128A.8km/hB.6km/hC.2km/hD.10km/h【解析】设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为vkm/h，由题意知，sinθ＝＝，从而cosθ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.【答案】B5.如图129，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()图129A.240(－1)mB.180(－1)mC.120(－1)mD.30(＋1)m【解析】 tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，∴BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)，故选C.【答案】C二、填空题6.有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米.【解析】如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，＝，∴AC＝＝＝(千米).【答案】7.如图1210，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m.图1210【解析】tan30°＝，tan75°＝，2又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60，故CD＝60.【答案】608.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图1211所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点________dm的C处截住足球.图1211【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，设BC＝xdm，由题意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm.在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45°，解得x1＝5，x2＝.∴AC＝17－2x＝7(dm)，或AC＝－(dm)(舍去).∴该机器人最快可在线段AD上距A点7dm的点C处截住足球.【答案】7三、解答题9.A，B，C，D四个景点，如图1212，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D相距2km，C，D相距(3－)km，求A，B两景点的距离.图1212【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得＝，即BD＝＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.即A，B两景点的距离为2km.10.如图1213所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度.3图1213【解】设CD＝xm，∠BAC＝α，则△ABC中，tanα＝＝.又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝＝tan(45°＋α).又tan(45°＋α)＝＝3，∴＝3，解得x＝150m，所以电视塔的高度为150m.[能力提升]1.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离d1与第二...
