2.1.1椭圆及其标准方程（1）一、选择题1．已知命题甲：动点P到两定点A，B的距离之和|PA|＋|PB|＝2a，其中a为大于0的常数；命题乙：P点的轨迹是椭圆．命题甲是命题乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若P点的轨迹是椭圆，则一定有|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|PA|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，P点的轨迹不一定是椭圆，所以甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．答案：B2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.又|F1F2|＝2c＝2＝4，∴△PF1F2为直角三角形．答案：B3．[2014·西安交大附中月考]椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是()A.(±3,0)B.(±，0)C.(±，0)D.(0，±)解析：椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以所求焦点坐标为(0，±)．答案：D4．若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是()A.(，)B.[，)C.(，)D.[，)解析：∵方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴8sinα>4，sinα>.∵α为锐角，∴<α<.答案：C二、填空题5．一个焦点坐标是(0,4)，过点B(1，)的椭圆的标准方程为__________．解析：设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，∴a2－b2＝16，①又过点B(1，)，∴＋＝1，②∴由①②知，a2＝20，b2＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.1答案：＋＝16．[2014·云南省昆明一中月考]已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．解析：本题考查椭圆的标准方程．由已知，2a＝8,2c＝2，∴a＝4，c＝，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x2＝1.答案：＋x2＝17．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)并且焦距为6，则实数m的值为__________．解析：∵2c＝6，∴c＝3.当焦点在x轴上时，a2＝25，∴m＝16.当焦点在y轴上时，b2＝25，∴m＝34.答案：16或34三、解答题8．求经过点A(，－2)和点B(－2，1)的椭圆的标准方程．解：法一：(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．依题意有解得因为a0，n>0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.9．如图，圆C：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程．解：由垂直平分线性质可知|MQ|＝|MA|，∴|CM|＋|MA|＝|CM|＋|MQ|＝|CQ|，又|CQ|＝4，∴|CM|＋|MA|＝4.又|AC|＝2，∴M点轨迹为椭圆．由椭圆的定义知：a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3.∴所求轨迹方程为：＋＝1.2
