计时双基练四十八证明平行与垂直A组基础必做1．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A．(－1,1,1)B．(1，－1,1)C.D.解析设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得∴x＝y＝z。故选C。答案C2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面。则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内。答案D3．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为()A．－2B．－C.D．±解析由已知得s·n＝0，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±。答案D4．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确解析 n1·n2＝2×(－3)＋(－3)×1＋5×(－4)≠0，∴n1与n2不垂直，∴α与β相交但不垂直。答案C5．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点。则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，1依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1,)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)。∴PM＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)，AM＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)。∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0。即PM⊥AM，∴AM⊥PM。答案C6．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE。则M点的坐标为()A．(1,1,1)B.C.D.解析连接OE，由AM∥平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，∴AM∥EO，又O是正方形ABCD对角线交点，∴M为线段EF的中点。在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)。由中点坐标公式，知点M的坐标。答案C7．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________。解析由α⊥β，得a⊥b，所以a·b＝x－2＋6＝0，解得x＝－4。答案－48．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)，AP＝(－1,2，－1)。对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD。其中正确的是________。解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确。又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确。由于BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误。答案①②③9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________。2解析分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， A1M＝AN＝a，∴M，N，∴MN＝。又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，∴C1D1＝(0，a,0)。∴MN·C1D1＝0，∴MN⊥C1D1。 C1D1是平面BB1C1C的法向量，且MN⃘平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C。答案平行10．(2016·咸阳模拟)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点。(1)求证：AF∥平面BCE。(2)求证：平面BCE⊥平面CDE。证明设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a，2a)。因为F为CD的中点，所以F。(1)AF＝，BE＝(a，a，a)，BC＝(2a,0，－a)，3可得AF＝(BE＋BC)，又AF⃘平面BCE，所以AF∥平面BCE。(2)因为AF＝，CD＝(－a，a,0)，ED＝(0,0，－2a)，所以AF·CD＝0，AF·ED＝0，所以AF⊥CD，AF⊥ED。又CD∩DE＝D，所以AF⊥平面CDE，即AF⊥平面CDE。又AF∥平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE。11.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形。平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5。(1)求证：AA1⊥平面ABC。(2)证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值。证明(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC。因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC。所以AA1⊥平面ABC。(2)由(1)知AA1⊥AB，AA1⊥AC。由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC。如图，以A为原点建立空间直角...
