2.4等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(0)q．定义也可叙述为：在数列{}na中，若1(nnaqqa为常数且0)q，则{}na是等比数列．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___________叫做a与b的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}na的首项为1a，公比为q，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)naaq．4．等比数列与指数函数（1）等比数列的图象等比数列{}na的通项公式11nnaaq还可以改写为1nnaaqq，当1q且10a时，xyq是指数函数，1xayqq是指数型函数，因此数列{}na的图象是函数1xayqq的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12nna的图象如下图所示．1（2）等比数列的单调性已知等比数列{}na的首项为1a，公比为q，则①当101aq或1001aq时，{}na是___________数列；②当1001aq或101aq时，{}na是___________数列；③当1q时，{}na为常数列(0)na；④当0q时，{}na为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．K知识参考答案：1．同一常数2．G3．11naq4．递增递减K—重点等比数列的定义、通项公式、性质的理解与简单应用K—难点灵活应用等比数列的定义及性质解决一些相关问题K—易错对等比数列的定义理解不深刻、忽略等比数列问题中的隐含条件等比数列的判定与证明判断数列{}na是否为等比数列的方法：（1）定义法：判断1nnaa是否为常数；2（2）等比中项法：判断11(,2)nnnnaannaa*N是否成立；（3）通项公式法：若数列{}na的通项公式形如(0)nnatqtq，则数列{}na是等比数列．（1）若{}na的通项公式为212nna，试判断数列{}na是否为等比数列．（2）若,,,abcd成等比数列，,,abbccd均不为零，求证：,,abbccd成等比数列．【答案】（1）{}na是等比数列，证明见解析；（2）,,abbccd成等比数列，证明见解析．【解析】（1）2(1)121212242nnnnaa，4为非零常数，由定义可知{}na是等比数列．（2）由,,,abcd成等比数列，可设(0)bcdqqabc，因为,,abbccd均不为零，所以bccdqabbc，所以,,abbccd成等比数列．【名师点睛】不能仅由数列的前有限项成等比数列得出数列是等比数列，而要否定一个数列是等比数列，只需得到其连续三项不成等比数列即可．等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}na中，若474,32,aa则na____________；（2）在等比数列{}na中，已知253636,72,aaaa若1024na，则n____________．【答案】（1）22n；（2）10．【解析】（1）方法1：因为47432aa，所以3161432aqaq，3两式相除得38q，即2q，于是41334122aaq，所以11211222nnnnaaq．方法2：因为37432aaq，所以38q，即2q，所以4424422nnnnaaq．（2）方法1：因为425112536113672aaaqaqaaaqaq，两式相除得2q，所以12a，由1024na，可得1112221024nnnaq，解得10n．方法2：因为3625()aaqaa，所以2q，由41136aqaq可得12a，由1024na，可得1112221024nnnaq，解得10n．【名师点睛】（1）已知数列{}na为等比数列时，可利用条件构建方程（组）求出基本量1a与q，即可写出数列{}na的通项公式；（2）当已知等比数列{}na中的某项，求出公比q后，可绕过求1a而直接写出其通项公式，即(,)nmnmaaqmn*N．等比数列的性质的应用若数列{}na是公比为q的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若mnpq，则mnpqaaaa；若2mnr，则2(,)mnraaamn,p,q,r*N．推广：1211;nniniaaaaaaLL①②若mntpqr，则mntpqraaaaaa．（2）若,,mnp成等差数列，则,,mnpaaa成等比数列．4（3）数列(0)na仍是公比为q的等比数列；数列1{}na是公比为1q的...
