课时素养评价三十八用二分法求方程的近似解(20分钟·40分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.观察下列函数的图象,判断能用二分法求其零点的是()【解析】选A.由图象可知A中零点左右两侧的函数符号不同,故可用二分法求零点.2.用二分法求函数f(x)在(a,b)内的唯一零点时,精确度为0.001,则结束计算的条件是()A.|a-b|<0.1B.|a-b|<0.001C.|a-b|>0.001D.|a-b|=0.001【解析】选B.据二分法的步骤知当区间长度|b-a|小于精确度ε时,便可结束计算.3.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算f(0)<0,f(0.5)>0,则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为()A.(0,0.5),f(0.125)B.(0.5,1),f(0.25)C.(0.5,1),f(0.75)D.(0,0.5),f(0.25)【解析】选D.因为f(x)=x5+8x3-1,则f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,所以其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).4.(多选题)若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:x11.51.251.3751.43751.40625f(x)的近似值-20.625-0.984-0.2600.162-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0近似解(精确度为0.05)可以是()A.1.25B.1.4375C.1.40625D.1.4219【解析】选B、C、D.由表格可得,函数f(x)=x3+x2-2x-2的零点在(1.40625,1.4375)之间;结合选项可知,方程的近似解可以是1.40625,1.4375,1.4219.二、填空题(每小题4分,共8分)5.求方程x3-3x-1=0在区间(1,2)内的实根,用“二分法”确定的下一个有解的区间是________.【解析】设函数f(x)=x3-3x-1,因为f(1)=-3<0,f(2)=1>0,f(1.5)=-<0,所以下一个有解的区间是(1.5,2).答案:(1.5,2)6.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是________,函数的零点是________.(用a表示)【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b;则令f(x)=x2+ax+=0,解得x=-.答案:a2=4b-三、解答题7.(16分)已知函数f(x)=2x3-x2-3x+1.(1)求证:f(x)在区间(1,2)上存在零点.(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示,请用二分法计算f(x)=0的一个近似解(精确到0.1).x11.51.251.3751.31251.34375f(x)的近似值-11-0.406250.18359-0.138180.01581【解析】(1)因为f(x)=2x3-x2-3x+1,所以f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以f(1)·f(2)=-7<0.且f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内连续,所以f(x)在区间(1,2)上存在零点.(2)由(1)知,f(x)=2x3-x2-3x+1在(1,2)内存在零点,由表知f(1)=-1,f(1.5)=1,所以f(1)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1,1.5)上,因为f(1.25)=-0.40625,所以f(1.25)·f(1.5)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.5)上,因为f(1.375)≈0.18359,所以f(1.25)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.25,1.375)上,因为f(1.3125)≈-0.13818,所以f(1.3125)·f(1.375)<0,所以f(x)的零点在(1.3125,1.375)上,因为f(1.34375)≈0.01581,所以f(1.3125)·f(1.34375)<0,所以f(x)的零点在(1.3125,1.34375)上,由于|1.34375-1.3125|=0.03125<0.1,且1.3125≈1.3,1.34375≈1.3,所以f(x)=0的一个精确到0.1的近似解是1.3.(15分钟·30分)1.(4分)用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间(an,bn)内,当|an-bn|<ε时,函数的近似零点与真正的零点的误差不超过()A.εB.εC.2εD.ε【解析】选A.最大误差即为区间长度ε.2.(4分)已知曲线y=与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是()A.B.C.D.(1,2)【解析】选A.设f(x)=-x,则f(0)=1>0,f=-=-<0,f(1)=-1<0,f(2)=-2<0,显然有f(0)·f<0.【加练·固】若a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由零点存在判定定理可知,在区间(a,b),(b,c)内分别存在一个零点.所以f(x)的两个零点分别在(a,b)和(b,c)内.3.(4分)若方程x3-x+1=0在区间(a,b)(a,b是整数,且b-a=1)上有一根,则a+b=________.【解析】设f(x)=x3-x+1,则f(-2)=-5<0,f(-1)=1>0,可得a=-2,b=-1,所以a+b=-3.答案:-34.(4分)已知函数f(x)=log2x+2x-m有唯一零点,如果它的零点在区间(1,2)内,则实数m的取值范围是________.【解析】因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以所以解得2x0,所以f(x2)>f(x0)=0.
