第4讲基本不等式[基础题组练]1．下列不等式一定成立的是()A．lg>lgx(x>0)B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.>1(x∈R)解析：选C.对于选项A，当x>0时，x2＋－x＝≥0，所以lg≥lgx；对于选项B，当sinx<0时显然不成立；对于选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对于选项D，因为x2＋1≥1，所以0<≤1.故选C.2．(2020·广西钦州期末)已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是()A．15B．12C．5D．3解析：选C.因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5.故选C.3．已知f(x)＝，则f(x)在上的最小值为()A.B．C．－1D．0解析：选D.f(x)＝＝x＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．又1∈，所以f(x)在上的最小值是0.4．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为()A.B．2C．2D．4解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，由＝＋≥2＝2，所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为2.5．(2020·湖南衡阳期末)已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是()A.B．C.D．3解析：选D.因为x＋y＋z＝1，00，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.答案：2＋7．(2020·江西吉安期末)已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为________．解析：设t＝sinx＋2，则t∈[1，3]，则sin2x＝(t－2)2，则g(t)＝＝t＋－4(1≤t≤3)，1由“对勾函数”的性质可得g(t)在[1，2)上为减函数，在(2，3]上为增函数，又g(1)＝1，g(3)＝，所以g(t)max＝g(1)＝1.即f(x)的最大值为1.答案：18．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2.又λ≥恒成立，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：29．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；(2)设00，所以＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.(2)因为00，所以y＝＝·≤·＝，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，所以当x＝1时，函数y＝的最大值为.10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．已知a＞0，b＞0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为()A．9B．12C．18D．24解析：选B.由＋≥，得m≤(a＋3b)＝＋＋6.又＋＋6≥2＋6＝12，当且仅当＝，即a＝3b时等号成立，2所以m≤12，所以m的最大值为12.2．(2020·湖北恩施2月教学质量检测)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β终边上分别有点A(1，a)，B(2，b)，且α＝2β，则＋b的最小值为()A．1B．C.D．2解析：选C.由已知得，a>0，b>0，tanα＝a，tanβ＝，因为α＝2β，所以tanα＝tan2β，所以a＝＝，所以＋b＝＋b＝＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝时，取等号．故＋b的最小值为.3．(2020·安徽合肥第二次教学质量检测)若a＋b≠0，则a2＋b2＋的最小值为________．解析：a2＋b2＋≥＋≥2＝，当且仅当a＝b＝2－时，a2＋b2＋取得最小值.答案：4．当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．解析：由32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋.因为3x＋≥2，所以3x＋的最小值为2.又当x∈R时，32x－(k＋1)3x＋2>0恒成立，所以当x∈R时，k＋1<，即k＋1<2，即k<2－1.答案：(－∞，2－1)5．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lgx＋lgy的最大值；(2)＋...
