6.7数学归纳法[课时跟踪检测][基础达标]1．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(1)为()A．1B．C．1＋＋＋＋D．非以上答案解析：等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n－1，则当n＝1时，最大分母为5，故选C.答案：C2．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1解析：1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．答案：C3．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3解析：假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．答案：A4．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.D．解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．答案：B5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N*)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析：n为正奇数，假设n＝2k－1成立后，需证明的应为n＝2k＋1时成立．答案：2k＋16．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.解析：由(S1－1)2＝S得，S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得，S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得，S3＝.猜想Sn＝.答案：7．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．解析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)28．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．解析：不等式的左边增加的式子是＋－＝，故填.答案：9．用数学归纳法证明等式12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，原等式成立．②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1·.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k(k＋1)2＝(－1)k－1·＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k.∴n＝k＋1时，等式也成立，由①②知对任意n∈N*有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1·.10．设等差数列{an}的公差d>0，且a1>0.记Tn＝＋＋…＋.(1)用a1，d分别表示T1、T2、T3，并猜想Tn；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解：(1)T1＝＝；T2＝＋＝×＝×＝；T3＝＋＋＝×＝×＝.由此可猜想Tn＝.(2)证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立．②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，即Tk＝.则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝.即n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．[能力提升]1．(2017届湖北宜昌一中模拟)已知函数f(x)＝x3－x，数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．解： f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－1. 函数g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在区间[1，＋∞)上单调递增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1.由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1，则当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增...
