第2讲导数与函数的单调性1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上的单调情况是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.在(0，2π)上有f′(x)＝1－cosx＞0恒成立，所以f(x)在(0，2π)上单调递增．2．函数f(x)＝(a＞0)的单调递增区间是()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)或(1，＋∞)解析：选B.函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝＝.由于a＞0，要使f′(x)＞0，只需(1－x)·(1＋x)＞0，解得x∈(－1，1)．3．(2019·太原模拟)函数f(x)＝的图象大致为()解析：选B.由f(x)＝，可得f′(x)＝＝，则当x∈(－∞，0)和x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又当x＜0时，f(x)＜0，故选B.4．(2019·四川乐山一中期末)f(x)＝x2－alnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为()A．a＜1B．a≤1C．a＜2D．a≤2解析：选D.由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－，因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以2x－≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，因为x∈(1，＋∞)时，2x2＞2，所以a≤2故选D.5．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，设a＝f(0)，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a解析：选C.因为当x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)＜0，所以f′(x)＞0，所以函数f(x)在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a＝f(0)＜f＝b，又f(x)＝f(2－x)，所以c＝f(3)＝f(－1)，所以c＝f(－1)＜f(0)＝a，所以c＜a＜b，故选C.6．函数f(x)＝＋－lnx的单调递减区间是________．解析：因为f(x)＝＋－lnx，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝－－＝，令f′(x)＜0，解得0＜x＜5，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，5)．答案：(0，5)7．若f(x)＝xsinx＋cosx，则f(－3)，f，f(2)的大小关系为________(用“＜”连接)．解析：函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．又f′(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈时，f′(x)＜0.所以f(x)在区间上是减函数，所以f＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．答案：f(－3)＜f(2)＜f8．(2019·张掖市第一次诊断考试)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝x2－ax＋1，因为函数f(x)在区间(，3)上单调递减，所以f′(x)≤0在区间(，3)上恒成立，所以，即，解得a≥，所以实数a的取值范围为[，＋∞)．答案：[，＋∞)9．设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．解：(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0，6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，解得a＝.(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x＞0)，f′(x)＝x－5＋＝.令f′(x)＝0，解得x＝2或3.当0＜x＜2或x＞3时，f′(x)＞0；当2＜x＜3时，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是(0，2)，(3，＋∞)，单调递减区间是(2，3)．10．已知函数g(x)＝x3－x2＋2x＋5.(1)若函数g(x)在(－2，－1)内为减函数，求a的取值范围；(2)若函数g(x)在(－2，－1)内存在单调递减区间，求a的取值范围．解：因为g(x)＝x3－x2＋2x＋5，所以g′(x)＝x2－ax＋2.(1)法一：因为g(x)在(－2，－1)内为减函数，所以g′(x)＝x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立．所以即解得a≤－3.即实数a的取值范围为(－∞，－3]．法二：由题意知x2－ax＋2≤0在(－2，－1)内恒成立，所以a≤x＋在(－2，－1)内恒成立，记h(x)＝x＋，则x∈(－2，－1)时，－3＜h(x)≤－2，所以a≤－3.(2)因为函数g(x)在(－2，－1)内存在单调递减区间，所以g′(x)＝x2－ax＋2＜0在(－2，－1)内有解，所以a＜.又x＋≤－2.当且仅当x＝即x＝－时等号成立．所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2)．1．(2019·安徽江淮十校第三次联考)设函数f(x)＝x2－9lnx在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是()A．1＜a≤2B．a≥4C．a≤2D．0＜a≤3解析：选A.易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞...
