课时跟踪检测（十）空间几何体的表面积层级一学业水平达标1．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为，那么它的体积为()A．6B.C．2D．2解析：选B由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为，可知高h＝2，又因为底面积S＝，所以体积V＝Sh＝××2＝.2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为()A．1∶2B．1∶C．1∶D.∶2解析：选C设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶.3．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A．4B．2C．8D．16解析：选A设圆台的上、下底面半径分别为r′，r，则母线l＝(r′＋r)．∴S侧＝π(r＋r′)·l＝π·2l·l＝2πl2＝32π.∴l＝4.4．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是()A.B.C.D.解析：选A设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h＝2πr，∴S表＝2πr2＋2πr·h＝2πr2(1＋2π)，又S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.5．正三棱锥的底面边长为a，高为a，则此棱锥的侧面积为()A.a2B．a2C.a2D.a2解析：选C如图，在正三棱锥SABC中，过点S作SO⊥平面ABC于O点，则O为△ABC的中心，连结AO并延长与BC相交于点M，连结SM，SM即为斜高h′，在Rt△SMO中，h′＝＝a，所以侧面积S＝3××a×a＝a2.6．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．解析：由题意知，圆柱侧面积等于圆柱上、下底面和，即2πr×3＝2πr2，所以r＝3.答案：37．一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________．解析：设圆柱的底面半径为R，则S＝πR2，R＝，底面周长c＝2πR.故圆柱的侧面积为S圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·＝4πS.答案：4πS8.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________．解析：设正方体棱长为1，则其表面积为6，三棱锥D1AB1C为正四面体，每个面都是边长为的正三角形，其表面积为4×××＝2，所以三棱锥D1AB1C的表面积与正方体的表面积的比为1∶.答案：1∶9．以圆柱的上底中心为顶点，下底为底作圆锥，假设圆柱的侧面积为6，圆锥的侧面积为5，求圆柱的底面半径．解：如图所示，设圆柱底面圆的半径为R，高为h，则圆锥的底面半径为R，高为h，设圆锥母线长为l，则有l＝.①依题意，得②由①②，得R＝，即圆柱的底面半径为.10．设正三棱锥SABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的全面积．解：设正三棱锥底面边长为a，斜高为h′，如图所示，过O作OE⊥AB，则SE⊥AB，即SE＝h′. S侧＝2S底，∴×3a×h′＝a2×2，∴a＝h′. SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，∴32＋2＝h′2.∴h′＝2，∴a＝h′＝6.∴S底＝a2＝×62＝9，S侧＝2S底＝18.∴S全＝S侧＋S底＝18＋9＝27.层级二应试能力达标1.已知高为3的棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图，则三棱锥BAB1C的体积为()A.B.C.D.解析：选DVBAB1C＝VB1ABC＝S△ABC×h＝××3＝.2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是()A．2B．4C．6D．8解析：选D设直棱柱底面边长为a，高为h，则h＝＝2，a＝×＝1，所以S棱柱侧＝4×1×2＝8.3．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为()A．7B．6C．5D．3解析：选A设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.4．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是()A．130B．140C．150D．160解析：选D设底面边长是a，底面的两条对角线分别为l1，l2，而l＝152－52，l＝92－52，而l＋l＝4a2，即152－52＋92－52＝4a2，a＝8，S侧面积＝ch＝4×8×5＝160.5．用长、宽分别是3π和π的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的表面积是________．解析：以长为π的边为高时，底面半径为，S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π，以长为3π的边为高时，底面半径为，S＝3π2＋2·π·2＝3π2＋π.答案：3π2＋π或3π2＋π6.如图所示，在底半径为2，母线长...
