高中数学 第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理知识导航 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

2.1.2演绎推理知识梳理1.三段论的公式中包含三个命题，第一个命题称为___________，它提供了一个___________；第二个命题叫_____________，它指出了一个_____________，这两个判断结合起来，揭示了_____________与_____________的内在联系，从而得到第三个命题_____________.2.演绎推理的主要形式为_____________，常用格式为_______________________________.知识导学演绎推理也是我们学习和生活中经常使用的一种推理形式，特别地，数学论证主要通过演绎推理来进行.学习时应结合具体例子体会演绎推理是由一般到特殊的推理，这也决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提和结论之间的联系是必然的，因此，在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论就必然正确.“三段论”是演绎推理的一般模式，在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误，所以在学习时，要结合正、反两方面的例子来加以辨别，在以后的学习中弄清每一个环节，使自己的逻辑思维清楚，正确地表述出推证的结论.有些错误比较隐蔽，不易辨别，学习时分清大前提、小前提，并逐一判断，不要犯逻辑错误，切不可循环论证.仔细体会合情推理与演绎推理的联系和差异，合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的.疑难突破三段论推理剖析：三段论中大前提是一个一般性结论，都具有的结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论.要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确，如所有的动物都用肺呼吸，鱼是动物，所以鱼是用肺呼吸，此推理显然错误，错误的原因是大前提错.再如所有的能被2整除的数是偶数，合数是偶数，所以合数能被2整除.错误的原因为小前提错.为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或小前提的表述方式.典题精讲【例1】梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角.图2-1-9已知：在如图2-1-9所示梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=AD，AC和BD是它的对角线.求证：AC平分∠BCD，BD平分∠CBA.思路分析：本题可由三段论逐步推理论证.证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提)△DAC是等腰三角形，DA、DC为两腰，(小前提)∴∠1=∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提)∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截出的内错角，(小前提)∴∠1=∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提)1∠2和∠3都等于∠1，(小前提)∴∠2=∠3.(结论)即AC平分∠BCD.(4)同理DB平分∠CBA.绿色通道：命题的推理证明为多个三段论，称为复合三段论.事实上，每一次三段论的大前提可不写出，某一次三段论的小前提如果是它前面某次三段论的结论，也可不再写出，即过程可简写.变式训练：如图2-1-10所示，D、E、F分别是BC、CA、AB边上的点，∠BFD=∠A，DE∥BA.图2-1-10求证：ED=AF.证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提)∴DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE∥BA，且DF∥EA，(小前提)∴四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED和AF为平行四边形的对边，(小前提)∴ED=AF.(结论)【例2】如图2-1-11所示，A、B、C、D四点不共面，M、N分别是△ABD和△BCD的重心.求证：MN∥平面ACD.图2-1-11思路分析：证明线面平行，关键是在面内找到一条直线与已知直线平行即可，本题是三段论证明的应用.证明：连结BM、BN并延长分别交AD、DC于P、Q两点，连结PQ. M、N分别是△ABD和△BCD的重心，∴P、Q分别为AD、DC的中点.又 B，∴MN∥PQ.又 MN平面ADC，PQ平面ADC，∴MN∥平面ACD.绿色通道：本题为一个三段论推理的问题，可以简写，遵循的原则是：如果ab,bc，则a2c.变式训练：如图2-1-12所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.图2-1-12证明：连结AC交BD于O. 四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC.连结OQ,又OQ是△APC的中位线,∴PC∥OQ. PC在平面BDQ外,OQ平面BDQ,∴PC∥平面BDQ.【例3】证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1...