课时作业13球时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．直径为6的球的表面积和体积分别是(B)A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π解析：球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为(C)A．2B．C．D．解析：设熔化后的球的半径为R，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V＝πR3＝2×π×13，得R＝.3．棱长为2的正方体的外接球的表面积是(C)A．8πB．4πC．12πD．16π解析：正方体的体对角线长为2，即2R＝2，∴R＝，S＝4πR2＝12π.4．长方体的体对角线长度是5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(C)A．20πB．25πC．50πD．200π解析： 对角线长为5，∴2R＝5，S＝4πR2＝4π×()2＝50π.5．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为(A)A．21B．23C．2πD．25解析：设半球的半径为r，圆锥的高为h，则πr2h＝πr3×，所以h＝2r，故选A．6．有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V球和V正，球的直径为d，正方体的棱长为a，则(A)A．d>a，V球>V正B．d>a，V球
V正D．d1，∴d>A．V球V正＝πr3a3＝πd36a3＝da，∴V球>V正．7．若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(C)A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πrRD．π(R＋r)2解析：解法一：如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r，由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.解法二：如图，设球心为O，球的半径为r1，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高，由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，得r＝Rr，故球的表面积为S球＝4πr＝4πRr.8．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(A)A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3解析：本题考查球的体积的计算．如图正方体的上底面截球的小圆直径为8cm，∴r＝4cm，设球的半径为R.∴∴R＝5，∴V＝πR3＝.二、填空题9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为3π.解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S＝π×12＋×4×π×12＝3π.10．如图(1)，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，如图(2)．则＝.解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r，恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr3＝πR2·r，故＝.11．已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为8.解析：本题主要考查球的几何性质以及锥体的体积公式．依题意，矩形的对角线AC＝4，∴球心O到平面ABCD的距离d＝2.∴V棱锥O－ABCD＝×d×|AB|×|BC|＝×2×6×2＝8.三、解答题12．已知三棱锥P－ABC内接于球，三条侧棱两两垂直且长都为1，求球的表面积与体积．解：三棱锥可扩展为正方体，正方体也内接于球，正方体的体对角线就是球的直径，正方体的体对角线长为，球的半径长为.则球的表面积为4πr2＝3π，球的体积为r3＝3＝π.13．一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内的水平面的高是多少？解：设球未取出时高PC＝h，球取出后水面高PH＝x.如图所示． AC＝r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝πAC2·PC＝π(r)2·3r＝3πr3.V球＝πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝π·EH2·PH＝π(PH·tan30°)2·PH＝πx3.而V水＝V圆锥－V球，即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.故球取出后水面的高为r.——能力提升类——14．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面圆的面积的最小值为4π.解析：将正四面体ABCD放置在如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球，设球心为O. 正四面体ABCD的棱长为4，且正四面...
