2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何8.2空间点、线、面的位置关系撬题理1．若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5答案B解析首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C、D.又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B.2．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.3.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α答案B解析A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，则∠ANQ即为所求，设BC＝CA＝CC1＝2，则AQ＝，AN＝，QN＝，∴cos∠ANQ＝＝＝＝，故选C.解法二：如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BC＝CA＝CC1＝1，可知点A(0,1,1)，N，B(1,0,1)，M.∴AN＝，BM＝.∴cos〈AN，BM〉＝＝.根据AN与BM的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为.5．如图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．答案解析如下图所示，连接ND，取ND的中点E，连接ME，CE，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角即为∠EMC.由题可知CN＝1，AN＝2，∴ME＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，∴CE＝，则cos∠CME＝＝＝.6.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．答案解析取BF的中点N，连接MN，EN，则EN∥AF，所以直线EN与EM所成的角就是异面直线EM与AF所成的角．在△EMN中，当点M与点P重合时，EM⊥AF，所以当点M逐渐趋近于点Q时，直线EN与EM的夹角越来越小，此时cosθ越来越大．故当点M与点Q重合时，cosθ取最大值．设正方形的边长为4，连接EQ，NQ，在△EQN中，由余弦定理，得cos∠QEN＝＝＝－，所以cosθ的最大值为.7．如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解(1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，可得BE＝，故DF＝.在Rt△FDG中，可得FG＝.在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，可得EF＝.从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.又AC∩FG＝G，可得EG⊥平面AFC.因为EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单位长，建立空间直角坐标系G－xyz.由(1)可得A(0，－，0)，E(1,0，)，F，C(0，，0)，所以AE＝(1，，)，CF＝.故cos〈AE，CF〉＝＝－.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.8．如下图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.点E是CD边的中点，点F，G分别在线段AB，BC上，且AF＝2FB，CG＝2GB.(1)证明：PE⊥FG；(2)求二面角P－AD－C的正切值；(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值．解(1)证明：由PD＝PC＝4知，△PDC是等腰三角形，而E是底边CD的中点，故PE⊥CD.又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，故PE⊥平面ABCD，又FG⊂平面ABCD，故PE⊥FG.(2) 平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，AD...
