2018年高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入课时达标26平面向量的数量积与平面向量应用举例理[解密考纲]本考点重点考查平面向量的数量积及其几何意义，往往借助于数量积求模长、夹角、面积等，多以选择题、填空题的形式考查，题目难度中等偏难．一、选择题1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是(D)A．x＝－B．x＝－1C．x＝5D．x＝0解析：由向量垂直的充要条件，得2(x－1)＋2＝0.解得x＝0.2．已知非零向量a，b，|a|＝|b|＝|a－b|，则cos〈a，a＋b〉＝(C)A．B．－C．D．－解析：设|a|＝|b|＝|a－b|＝1，设(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1，∴a·b＝，∴a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋＝.∵|a＋b|＝＝＝，∴cos〈a，a＋b〉＝＝.3．已知向量|OA|＝2，|OB|＝4，OA·OB＝4，则以OA，OB为邻边的平行四边形的面积为(A)A．4B．2C．4D．2解析：因为cos∠AOB＝＝＝，所以∠AOB＝60°，sin∠AOB＝.所以所求的平行四边形的面积为|OA|·|OB|·sin∠AOB＝4，故选A．4．(2017·山西四校二联)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(D)A．－B．－C．D．解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝＝，故选D．5．(2017·甘肃兰州模拟)若△ABC的三个内角A，B，C度数成等差数列，且(AB＋AC)·BC＝0，则△ABC一定是(C)A．等腰直角三角形B．非等腰直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：因为(AB＋AC)·BC＝0，所以(AB＋AC)·(AC－AB)＝0，所以AC2－AB2＝0，即|AC|＝|AB|，又A，B，C度数成等差数列，故2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以2B＝π－B，所以3B＝π，B＝，故△ABC是等边三角形．6．(2017·福建厦门模拟)在△ABC中，∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是(C)A．B．2C．D．6解析：由AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－|AB||AC|＝－1得|AB||AC|＝2，|BC|2＝|AC－AB|2＝AC2＋AB2－2AB·AC＝AC2＋AB2＋2≥2|AC||AB|＋2＝6，当且仅当|AC|＝|AB|时等号成立．所以|BC|≥，故选C．二、填空题7．(2016·河南开封一模)设向量a＝与b＝(－1,2cosθ)垂直，则cos2θ＝－.解析：依题意，－＋2cos2θ＝0，即2cos2θ＝，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝－.8．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为90°.解析：由AO＝(AB＋AC)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以AB与AC的夹角为90°.9．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝.解析：因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cosα＋4＝9，所以|a|＝3，b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cosα＋1＝8，所以|b|＝2，a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，所以cosβ＝＝＝.三、解答题10．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．解析：由已知得，a·b＝4×8×＝－16.(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0.∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．11．如图，O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠AOC＝120°，向量OA，OB，OC的模分别为2，，4.(1)求|OA＋OB＋OC|；(2)若OC＝mOA＋nOB，求实数m，n的值．解析：(1)由已知条件易知OA·OB＝|OA||OB|cos∠AOB＝－3，OAOC＝|OA||OC|cos∠AOB＝－4，OB·OC＝0，∴|OA＋OB＋OC|2＝OA2＋OB2＋OC2＋2(OA·OB＋OA·OC＋OB·OC)＝9，∴|OA＋OB＋OC|＝3.(2)由OC＝mOA＋nOB可得OA·OC＝mOA2＋nOA·OB，且OB·OC＝mOB·OA＋nOB2，∴∴m＝n＝－4.12．已知向量AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)．(1)若BC∥DA，求x与y之间的关系式；(2)在(1)的条件下，若AC⊥BD，求x，y的值及四边形ABCD的面积．解析：(1)∵AD＝AB＋BC＋CD＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝(－x－4,2－y)．又BC∥DA且BC＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0.①(2)由于AC＝AB＋BC＝(x＋6，y＋1)，BD＝BC＋CD＝(x－2，y－3)，又AC⊥BD，∴AC·BD＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0.②联立①②，化简得y2－2y－3＝0.解得y＝3或y＝－1.故当y＝3时，x＝－6，此时AC＝(0,4)，BD＝(－8,0)，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝16；当y＝－1时，x＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝16.
