第22讲解三角形应用举例课时达标一、选择题1．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里A解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，解得BC＝10海里．故选A.2．一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50mB．100mC．120mD．150mA解析设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50m.3．长为3.5m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C处1.4m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tanα＝()A.B.C.D.A解析由题意得在△ABC中，AB＝3.5m，AC＝1.4m，BC＝2.8m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，即3.52＝1.42＋2.82－2×1.4×2.8×cos(π－α)，解得cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝＝.4．(2019·兰州一中期中)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC＝()A．240(－1)mB．180(－1)mC．120(－1)mD．30(＋1)mC解析因为tan15°＝tan(60°－45°)＝＝2－，所以BC＝60tan60°－60tan15°＝120(－1)(m)．故选C.5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100mB．400mC．200mD．500mD解析由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由已知得BC＝hm，在Rt△ABD中，由已知得BD＝hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500m.6．2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北θ的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和θ的值分别为(附：≈8.585)()A．858.5,60°B．858.5,30°C．717,60°D．717,30°A解析如图，根据题意，3小时后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内，由余弦定理得t2＝9002＋902－2×90×900cosθ，t2＝9002＋8102－2×810×900cosθ，解得cosθ＝，所以θ＝60°，所以t2＝9002＋902－2×90×900cos60°＝737100，所以t＝858.5.故选A.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8nmile，此船的航速是________nmile/h.解析设航速为vnmile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8nmile，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，所以v＝32nmile/h.答案328．江岸边有一炮台OA高30m，江中有两条船M，N，船与炮台底部O在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝＝＝10(m)．答案109．(2019·西安一中期中)如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为________；塔BB1的高为________m.解析设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1＝60tanα，BB1＝60...
