1.2.4二面角课后篇巩固提升基础达标练1.已知ABCD是正方形,E是AB的中点,将△DAE和△CBE分别沿DE,CE折起,使AE与BE重合,A,B两点重合后记为点P,那么二面角P-CD-E的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°答案A2.如图,设AB为圆锥PO的底面直径,PA为母线,点C在底面圆周上,若△PAB是边长为2的正三角形,且CO⊥AB,则二面角P-AC-B的正弦值是()A.√6B.√427C.√77D.√7解析如图,取AC的中点D,连接OD,PD, PO⊥底面,∴PO⊥AC, OA=OC,D为AC的中点,∴OD⊥AC,又PO∩OD=O,∴AC⊥平面POD,则AC⊥PD,∴∠PDO为二面角P-AC-B的平面角. △PAB是边长为2的正三角形,∴PO=√3,OA=OC=1,OD=√22,则PD=√(√3)2+(√22)2=√142.∴sin∠PDO=POPD=√3√142=√427.故选B.答案B3.正方形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则平面PAB与平面PCD所成的角为()A.30°B.45°C.60°D.90°解析如图所示,建立空间直角坐标系,设PA=AB=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).于是⃗AD=(0,1,0),取PD的中点E,则E0,12,12,∴⃗AE=0,12,12,易知⃗AD是平面PAB的法向量,⃗AE是平面PCD的法向量,∴cos<⃗AD,⃗AE>=√22,∴平面PAB与平面PCD所成的角为45°.答案B4.请根据所给的图形,把空白之处填写完整.(1)直线与平面平行的性质定理(请用符号语言作答).如图①,已知:a∥α,,求证:.(2)平面与平面垂直的性质定理的证明.如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,,,求证:AB⊥β.证明:在β内引直线,垂足为B,则是二面角的平面角,由α⊥β,知,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条直线,所以AB⊥β.解(1)已知:a∥α,a⊂β,α∩β=b,求证:a∥b.故答案为a⊂β,α∩β=b;a∥b.(2)如图②,已知:α⊥β,AB∩CD=B,α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,求证:AB⊥β.证明:在β内引直线BE⊥CD,垂足为B,则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角,由α⊥β,知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE和CD是β内的两条相交直线,所以AB⊥β.故答案为AB⊂α,AB⊥CD,BE⊥CD,∠ABE,α-CD-β,AB⊥BE,相交.5.已知正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角A-BD-C的正弦值为.解析取BC中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=1,则A0,0,√32,B0,-12,0,D√32,0,0.所以⃗OA=0,0,√32,⃗BA=0,12,√32,⃗BD=√32,12,0.由于⃗OA=0,0,√32为平面BCD的一个法向量,设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗BA=0,n·⃗BD=0,所以{12y+√32z=0,√32x+12y=0,取x=1,则y=-√3,z=1,所以n=(1,-√3,1),所以cos=√55,所以sin=25√5.答案2√556.在空间中,已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a>0),如果平面α与平面xOy所成的角为45°,则a=.解析平面xOy的法向量n=(0,0,1),设平面α的法向量为u=(x,y,z),则{-3x+4y=0,-3x+az=0,即3x=4y=az,取z=1,则u=a3,a4,1.而cos=1√a29+a216+1=√22,又 a>0,∴a=125.答案1257.如图所示,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA⊥平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,求二面角C-BF-D的正切值.解如图所示,设AC与BD交于O,连接OF,以O为坐标原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=√3,所以O(0,0,0),B√32,0,0,F0,0,12,C0,12,0,⃗OC=0,12,0,易知⃗OC为平面BDF的一个法向量.由⃗BC=-√32,12,0,⃗FB=√32,0,-12,可得平面BCF的一个法向量为n=(1,√3,√3),所以cos=√217,sin=2√77,所以tan=2√33.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(1)证明:PA⊥BD;(2)设PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.(1)证明因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=√3AD.从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD,所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.(2)解如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),P(0,0,1).⃗AB=(-1,√3,0),⃗PB=(0,√3,-1),⃗BC=(-1,0,0).设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则{n·⃗AB=0,n·⃗PB=0,即{-x+√3y=0,√3y-z=0,因此可取n=(√3,1,√3).设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),则{m·⃗PB=0,m·⃗BC=0,即{√3b-c=0,-a=0,可取m=(0,-1,-√3),cos=-42√7=-2√77.由图形知二面角A-PB-C大小为钝角,故二面角A-P...
