7.2柱、锥、台的体积课时跟踪检测一、选择题1．(2018·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A．2B．4C．6D．8解析：根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1,2，梯形的高为2，因此几何体的体积为×(1＋2)×2×2＝6，故选C.答案：C2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于()A．12B．4C．D．解析：如图，此几何体为四棱锥．V＝××2＝4.答案：B3．如下图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为.则该几何体的俯视图可以是()解析：当俯视图为C时，有体积V＝×1×1×1＝，其它体积均不为.答案：C4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.π＋4B．2π＋4C．π＋4D．π＋2解析：该几何体为半个圆柱与长方体的组合体V＝×π×12×2＋1×2×2＝π＋4.答案：C5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上的一点，它的主视图和左视图如图所示，则下列命题正确的是()A．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为B．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为C．AD⊥平面PBC，且三棱锥D－ABC的体积为D．BD⊥平面PAC，且三棱锥D－ABC的体积为解析：由正视图可得PA＝AC＝4，点D为棱PC的中点，由侧视图得BC＝4.因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，故BD与平面PAC不垂直，排除B、D；AD平面PAC，所以AD⊥BC.又在等腰直角三角形PAC中，点D是斜边PC的中点，所以AD⊥PC，又BC∩PC＝C，所以AD⊥平面PBC.且三棱锥D－ABC的体积VD－ABC＝VB－ACD＝××4×2×4＝，C正确，A错误，故选C.答案：C6.(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为()A．90πB．63πC．42πD．36π解析：解法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.解法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.答案：B二、填空题7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：该几何体为长为3，宽为2，高为1的四棱柱截去一个长为2，宽为1，高为1的四棱柱．∴体积为3×2×1－2×1×1＝4.答案：48．已知圆柱的底面周长为c，侧面展开图矩形的面积为S，则它的体积为________．解析：设圆柱底面半径为r，高为h，则∴r＝，h＝，∴V＝πr2h＝π×2·＝.答案：9．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2＝________.解析：＝＝＝.答案：1∶24三、解答题10．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上，下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积．解： 32＋42＝52，∴底面是直角三角形．∴上、下底面内切圆半径r＝＝1(cm)．∴S表＝(3＋4＋5)×6＋2×－2π×12＋2π×1×6＝72＋12－2π＋12π＝84＋10π(cm2)，V＝×3×4×6－π×12×6＝36－6π(cm3)．故剩余部分形成几何体的表面积是84＋10π(cm2)，体积是36－6π(cm3)．11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，主视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求：(1)该几何体的体积V；(2)该几何体的侧面积S.解：由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、PN，则PM⊥AB，PN⊥BC.∴PM＝＝＝5，PN＝＝＝4.(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64.(2)S侧＝2S△PAB＋2S△PBC＝AB·PM＋BC·PN＝8×5＋6×4＝40＋24.12.(2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD.(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直...
