课时分层作业(十五)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列结论：①(sinx)′＝cosx；②＝x；③(log3x)′＝；④(lnx)′＝.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个C[①④正确，②＝x；③(log3x)′＝.故选C．]2．曲线y＝lnx在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C．D．C[∵y＝lnx，∴y′＝，∴y′|x＝1＝1，设倾斜角为α，则tanα＝1，∴α＝，故选C．]3．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有()A．1条B．2条C．3条D．不确定B[f′(x)＝3x2，由3x2＝3得x＝±1，故选B．]4．若函数f(x)＝cosx，则f′＋f的值为()A．0B．－1C．1D．2A[f′(x)＝－sinx，则f′＝－sin＝－，f＝cos＝.故f′＋f＝0.]5．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0A[由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.]二、填空题6．已知f(x)＝，g(x)＝mx，且g′(2)＝，则m＝________.－4[∵f′(x)＝－，g′(x)＝m，又g′(2)＝，∴m＝－4.]7．设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__________.e－1[f′(x)＝，则f′(1)＝＝－1，即lna＝－1.所以a＝e－1.]8．设f(x)＝ax3－2x2－3，若f′(1)＝5，则a等于________．在(1，f(1))处的切线方程为______1__．35x－y－7＝0[f(x)′＝3ax2－4x，f′(1)＝5，∴a＝3，f(1)＝－2，切线方程为y＋2＝5(x－1)，即5x－y－7＝0.]三、解答题9．求抛物线y＝x2过点的切线方程．[解]设此切线过抛物线上的点(x0，x)．由导数的意义知此切线的斜率为2x0，又因为此切线过点和点(x0，x)，所以＝2x0.由此x0应满足x－5x0＋6＝0，解得x0＝2或3.即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)或(3,9)．所以所求切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)．化简得y＝4x－4，y＝6x－9.10．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．[解]根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线，对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则y′|x＝x0＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点坐标为，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.1．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2C[∵y＝lnx的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.]2．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A．B．C．D．1B[对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B．]3．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.264[∵y＝x，∴y′＝－x，∴曲线在点(a，a)处的切线斜率k＝－a，∴切线方程为y－a＝－a(x－a)．令x＝0得y＝a；令y＝0得x＝3a.∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝·3a·a＝a＝18，∴a＝64.]4．已知函数f(x)＝，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．或－2[f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或解得a＝或a＝－2.]5．已知函数f(x)＝ax2＋lnx的导数为f′(x)．(1)求f(1)＋f′(1)；(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．[解](1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋lnx，得f′(x)＝2ax＋，所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x>0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a<0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．3
