第二节平面向量基本定理及其坐标运算时间：45分钟分值：100分一、选择题1．如图，设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD的交点，下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①②B．③④C．①③D．①④解析①中AD与AB不共线，可作为基底；②中DA与BC为共线向量，不可作为基底；③中CA与DC是两个不共线的向量，可作为基底；④中OD与OB在同一条直线上，是共线向量，不可作为基底．综上，只有①③中的向量可以作为基底，故选C.答案C2．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)解析BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．答案B3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，且2a＋3b＝()A．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)解析由a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，得1×m＝2×(－2)⇒m＝－4，从而b＝(－2，－4)，那么2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．答案C4．(2015·昆明模拟)如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A，B，C在一条直线上，且AC＝－3CB，则()A．c＝－a＋bB．c＝a－bC．c＝－a＋2bD．c＝a＋2b解析 AC＝－3CB，∴OC－OA＝－3(OB－OC)．∴OC＝－OA＋OB，即c＝－a＋b.答案A5．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析AB＝(3，－4)，则|AB|＝5，所以与AB同向的单位向量为.答案A6．已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是()A．k＝－2B．k＝C．k＝1D．k＝－1解析若点A，B，C不能构成三角形，则向量AB，AC共线， AB＝OB－OA＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.答案C二、填空题7．已知向量a＝，b＝(x,1)，其中x>0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝________.解析a－2b＝，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，由题意得(8－2x)·(x＋1)＝·(16＋x)，整理得x2＝16，又x>0，所以x＝4.答案48．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，OC＝λOA＋OB，则实数λ的值为________．解析由题意知OA＝(－3,0)，OB＝(0，)，则OC＝(－3λ，)，由∠AOC＝30°知以x轴的非负半轴为始边，OC为终边的一个角为150°，则tan150°＝，即－＝－，故λ＝1.答案19．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为________．解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形．设D(x，y)，则有AB＝DC，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D点的坐标为(0，－2)．答案(0，－2)三、解答题10．如图，|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设OC＝xOA＋yOB.求x，y的值．解过C作CD∥OB，交OA的反向延长线于点D，连接BC，由|OB|＝1，|OC|＝，OB⊥OC，得∠OCB＝30°.又∠COD＝30°，∴BC∥OD，∴OC＝OD＋OB＝－2OA＋OB.∴x＝－2，y＝1.11．已知向量a＝(sinα，－2)，b＝(1，cosα)，其中α∈.(1)向量a，b能平行吗？请说明理由．(2)若a⊥b，求sinα和cosα的值．(3)在(2)的条件下，若cosβ＝，β∈，求α＋β的值．解(1)向量a，b不能平行．若平行，需sinαcosα＋2＝0，即sin2α＝－4，而－4∉[－1,1]，∴向量a，b不能平行．(2) a⊥b，∴a·b＝sinα－2cosα＝0，即sinα＝2cosα，又 sin2α＋cos2α＝1，∴4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，∴sin2α＝，又α∈，∴sinα＝，cosα＝.(3)由(2)知sinα＝，cosα＝，cosβ＝，β∈，得sinβ＝.则cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝－.又α＋β∈(0，π)，则α＋β＝.1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(b－c，cosC)，n＝(a，cosA)，m∥n，则cosA的值等于()A.B.C.D.解析m∥n⇒(b－c)cosA－acosC＝0，再由正弦定理得sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA⇒sinBcosA＝sin(C＋A)＝sinB，即cosA＝.答案C2．设A，B，C为直线l上不同的三...
