第三节基本不等式A级·基础过关|固根基|1.(2019届长沙市统考)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B解法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．解法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B．2．(2019届郑州质检)已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＋＋＝5，则a＋b的取值范围是()A．[1，4]B．[2，＋∞)C．(2，4)D．(4，＋∞)解析：选A因为a＋b＋＋＝(a＋b)＝5，又a，b∈(0，＋∞)，所以a＋b＝≤，当且仅当a＝b时，等号成立，即(a＋b)2－5(a＋b)＋4≤0，解得1≤a＋b≤4.3．已知x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为()A．B．2C．D．2解析：选D x>0，y>0，∴x＋2y≥2，∴4xy－(x＋2y)≤4xy－2，∴4≤4xy－2，则(－2)(＋1)≥0，∴≥2，∴xy≥2，即xy的最小值为2.4．若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：选A因为正实数x，y满足x＋y＝2，所以xy≤＝＝1，所以≥1.又≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.5．一段长为L的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，则菜园的最大面积为()A．B．C．D．L2解析：选A设菜园的长为x，宽为y，则x＋2y＝L，面积S＝xy，因为x＋2y≥2，所以xy≤＝.当且仅当x＝2y＝，即x＝，y＝时取等号，所以Smax＝，故选A．6．(2019届湖北武汉模拟)若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为()A．16B．25C．36D．49解析：选A因为＋＝1，则ab＝a＋b，即b＝＝1＋，由a，b是正数可得a－1>0.于是，＋＝＝4b＋16a－20＝4＋＋16a－20＝＋16(a－1)≥2＝16，当且仅当＝16(a－1)，1即a＝时等号成立，所以＋的最小值为16.故为A．7．(2019届福建龙岩一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为()A．3B．5C．7D．9解析：选C x>0，y>0，且＋＝，∴(x＋1)＋y＝2[(x＋1)＋y]＝2≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，∴x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C．8．正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________．解析： a，b是正数，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，解得≥3(舍负)，即ab≥9.答案：[9，＋∞)9．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)·＝10＋＋≥10＋2＝16，当且仅当＝，即a＝4，b＝12时等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，又x2－4x－2＝(x－2)2－6的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.答案：[6，＋∞)10．某厂家拟定在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，所以1＝3－k，解得k＝2，所以x＝3－，每件产品的销售价格为1.5×(元)，所以2019年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝－＋29(m≥0)．(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3时，等号成立．所以ymax＝21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.B级·素养提升|练能力|11.(2019届山西八校第一次联考)已知f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x(a>0，b>0)在x＝1处取得极值，则＋的最小值为()A．B．3＋2C．3D．22解析：选C由f(x)＝x3＋ax2＋(b－4)x，得f′(x)＝x2＋2ax＋b－4.由题意得f′(1)＝12＋2a＋b－4＝0，则2a＋b＝3，又a>0，b>0，所以＋＝×＝(2a＋b)＝≥＝3，当且仅当＝，即a＝b＝1时，等号成立．故＋的最小值为3.故选C．12．(2019届河南信阳模拟)已知角α，β的顶点都为坐标原点，始边都与x轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，α，β的终边上分别有点A(1，a)，B(2...
