第二章数列[A基础达标]1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式等于()A．2nB．2n＋1C．2n－1D．2n＋1解析：选B.由数列3，5，9，17，33，…的前5项可知，每一项都满足2n＋1，故选B.2．已知各项均为正数的等比数列{an}中，3a1，a3，2a2成等差数列，则＝()A．27B．3C．－1或3D．1或27解析：选A.设等比数列{an}的公比为q，因为3a1，a3，2a2成等差数列，所以3a1＋2a2＝a3，所以3a1＋2a1q＝a1q2，得q2－2q－3＝0，所以q＝3(q＝－1不符合题意，舍去)，所以＝q3＝33＝27.故选A.3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9解析：选A.设等差数列{an}的公差为d，因为a4＋a6＝－6，所以a5＝－3，所以d＝＝2，所以a6＝－1<0，a7＝1>0，故当等差数列{an}的前n项和Sn取得最小值时，n等于6.4．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则的值为()A.B.C.D.解析：选C.＝＝＝＝＝.5．设{an}为递减的等比数列，a1＋a2＝11，a1a2＝10，则lga1＋lga2＋…＋lga10＝()A．35B．－35C．55D．－55解析：选B.由a1＋a2＝11，a1a2＝10及{an}为递减的等比数列，可得a1＝10，a2＝1，所以q＝.所以lga1＋lga2＋…＋lga10＝lg(a1a10)5＝5lg(a1a1q9)＝5lgq7＝－35.故选B.6．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和是________．解析：因为a2＝9，a5＝243，a5＝a2·q3，所以q3＝＝27.所以公比q＝3，从而a1＝3，所以S4＝＝＝120.答案：1207．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为________．解析：设插入的两个数为a，b，对于数列2，a，b，30，由题意得a2＝2b，2b＝a＋30，解得a＝6或－5(舍去)，b＝18，所以a与b的等比中项为±＝±6.1答案：±68．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设该数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有即解得则a5＝a1＋4d＝a1＋7d－3d＝.答案：9．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2a5＝.(1)求证：an是等比数列，并求出其通项公式；(2)试问－是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．解：(1)因为2an＝3an＋1，所以＝.又因为数列{an}的各项均为负数，所以a1<0，所以数列{an}是以为公比的等比数列．所以an＝a1·qn－1＝a1·，又因为a2a5＝aq5＝a＝，所以a＝.又因为a1<0，a1＝－.所以an＝×＝－(n∈N*)．(2)令an＝－＝－，则n－2＝4，n＝6∈N*，所以－是这个等比数列中的项，且是第6项．10．(2019·河南省南阳高二(上)期中)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a1＋a3＝－2，S15＝75(n∈N*)．(1)求S9；(2)若数列bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则由a1＋a3＝－2，S15＝75，得，解得.所以S9＝9×(－2)＋×1＝18.(2)由(1)知，an＝－2＋1×(n－1)＝n－3，所以bn＝＝＝－，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋＋…＋＝－＝.[B能力提升]11．(2019·开封月考)已知数列{an}：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，若把该数列的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，则b2018＝()A．0B．1C．2D．3解析：选B.将数列1，1，2，3，5，8，13，…的每一项除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即新数列{bn}是周期为6的周期数列，所以b2018＝b336×6＋2＝b2＝1.故选B.12．数列{an}满足an＋1＝an＋2n，n∈N*，则数列{an}的前100项和为()A．5050B．5100C．9800D．9850解析：选B.设k∈N*，2当n＝2k时，a2k＋1＝－a2k＋4k，即a2k＋1＋a2k＝4k，①当n＝2k－1时，a2k＝a2k－1＋4k－2，②联立①②可得，a2k＋1＋a2k－1＝2，所以数列{an}的前100项和S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝(a1＋a3＋…＋a99)＋(a2＋a4＋…＋a100)＝(a1＋a3＋…＋a99)＋[(－a3＋4)＋(－a5＋4×2)＋(－a7＋4×3)＋…＋(－a101＋4×50)]＝25×2＋[－(a3＋a5＋…＋a101)＋4×(1＋2＋3＋…＋50)]＝25×2－25×2＋4×＝5100....
