同步检测训练一、选择题1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么()A.AO＝ODB.AO＝2ODC.AO＝3ODD．2AO＝OD答案：A解析： OB＋OC＝2OD，∴2OA＋2OD＝0，∴AO＝OD.2．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量．若直角三角形ABC中，AB＝2i＋j，AC＝3i＋kj，则k的可能值个数是()A．1B．2C．3D．4答案：B解析：不妨取A(0,0)，则B(2,1)，C(3，k)．当AB⊥BC时，AB·BC＝2＋k－1＝0，∴k＝－1.当AB⊥AC时，AB·AC＝6＋k＝0，∴k＝－6.当AC⊥BC时，AC·BC＝3＋k2－k＝0，无解．所以满足要求的k的值可能有2个，故选B.3．若非零向量a、b满足|a＋b|＝|b|，则()A．|2a|>|2a＋b|B．|2a|<|2a＋b|C．|2b|>|a＋2b|D．|2b|<|a＋2b|答案：C解析：由已知(a＋b)2＝|b|2，即2a·b＋|a|2＝0.从上式及选项可只考虑选项C、D. |a＋2b|2－|2b|2＝|a|2＋4a·b＝|a|2－2|a|2＝－|a|2<0.故选C.4．设a、b是非零向量，若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，则必有()A．a⊥bB．a∥bC．|a|＝|b|D．|a|≠|b|答案：A解析：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图象是一条直线，表示f(x)的表达式是关于x的一次表达式，而(xa＋b)·(a－xb)＝xa2－x2ab＋ab－xb2，故a·b＝0，又a，b是非零向量，所以a⊥b.故选A.5．(2009·山东实验中学3月)已知O是△ABC所在平面内一点，且满足BA·OA＋|BC|2＝AB·OB＋|AC|2，则点O()A．在AB边的高所在的直线上B．在∠C平分线所在的直线上C．在AB边的中线所在的直线上D．是△ABC的外心答案：A解析： BA·OA＋|BC|2＝AB·OB＋|AC|2，∴AB·OA＋AB·OB－|BC|2＋|AC|2＝0，AB·(OA＋OB)＋(AC－BC)·(AC＋BC)＝0，AB·(OA＋OB)－AB·(CA＋CB)＝0，设AB的中点为D，则AB·2OD－AB·2CD＝2AB·(OD－CD)＝2AB·OC＝0，AB⊥OC，则点O在AB边上的高所在的直线上，故选A.6．(2009·浙江宁波十校)设G是△ABC的重心，且(56sinA)GA＋(40sinB)GB＋(35sinC)GC＝0，则∠B的大小为()A．15°B．30°C．45°D．60°答案：D解析：G是△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0，－(GA＋GB)＝GC，又(56sinA)GA＋(40sinB)GB＋(35sinC)·GC＝0，则(56sinA)GA＋(40sinB)GB－(35sinC)(GA＋GB)＝0，(56sinA－35sinC)GA＋(40sinB－35sinC)GB＝0，56sinA－35sinC＝0,40sinB－35sinC＝0，再结合正弦定理得8a－5c＝0,8b－7c＝0，a∶b∶c＝5∶7∶8，由余弦定理得cosB＝，∠B的大小为60°，故选D.7．(2009·洛阳)A、B、O是平面内不共线的三个定点，且OA＝a，OB＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则PR等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a答案：B解析：PR＝OR－OP＝(OR＋OQ)－(OP＋OQ)＝2OB－2OA＝2(b－a)，故选B.8．(2009·成都市一测)已知点O为△ABC内一点，且OA＋2OB＋3OC＝0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等于()用心爱心专心1A．9∶4∶1B．1∶4∶9C．3∶2∶1D．1∶2∶3答案：C解析：依题意得OB－OA＝3(OB＋OC)．取BC的中点D，连结OD，则有OB＋OC＝2OD，OB－OA＝6OD，AB＝6OD，OD∥AB，S△AOB＝S△ABC，S△BOC＝2S△DOC＝2××S△ABC＝S△ABC，S△COA＝(1－－)S△ABC＝S△ABC，因此△AOB、△COA、△BOC的面积之比等于∶∶，即3∶2∶1，选C.二、填空题9．在△ABC中，CA＝a，CB＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则AP可用a、b表示为________．答案：－a＋b10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝________.答案：CD＝CB＋BD②且AD＋2BD＝0.①＋②×2得：3CD＝CA＋2CB，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.11．(2009·天津)在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，BA＋BC＝BD，则四边形ABCD的面积为________．答案：解析：由AB＝DC＝(1,1)知用心爱心专心2三、解答题12．如右图所示，在△ABC中，AD＝AB，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设AB＝a，AC＝b，用a，b分别表示向量AE，BC，DE，DN，AM，AN.解：⇒AE＝AC＝b.BC＝AC－AB＝b－a.由△ADE∽△ABC，得DE＝BC＝(b－a)．由AM是△ABC的中线，DE∥BC，得DN＝DE＝(b－a)．而且AM＝AB＋BM＝a＋BC＝a＋(b－a)＝(a＋b)．⇒AN＝AM＝(a＋b)．13．如右图所示，在△ABC中，D、F分别是BC、AC的...
