第四章数列考点测试28数列的概念与简单表示法一、基础小题1．已知数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，则是这个数列的()A．第8项B．第9项C．第10项D．第12项答案C解析由题意知＝，n∈N*，解得n＝10，即是这个数列的第10项．故选C．2．在数列{an}中，a1＝2，且(n＋1)an＝nan＋1，则a3的值为()A．5B．6C．7D．8答案B解析由(n＋1)an＝nan＋1得＝，所以数列为常数列，则＝＝2，即an＝2n，所以a3＝2×3＝6．故选B．3．设an＝－2n2＋29n＋3，则数列{an}的最大项是()A．107B．108C．D．109答案B解析因为an＝－2n2＋29n＋3＝－22＋，n∈N*，所以当n＝7时，an取得最大值108．4．数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝()A．B．C．D．答案A解析解法一：令n＝2,3,4,5，分别求出a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝．故选A．解法二：当n≥2时，a1·a2·a3·…·an＝n2．当n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2．两式相除得an＝2，∴a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝．故选A．5．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2018＝()A．－2B．－1C．2D．答案B解析 数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，∴a2＝＝－1，a3＝＝，a4＝＝2，…，可知此数列有周期性，周期T＝3，即an＋3＝an，则a2018＝a672×3＋2＝a2＝－1．故选B．6．把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30答案B解析观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即an＝an－1＋n(n≥2)．所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28．故选B．7．已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4，n∈N*，则an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2答案A解析因为Sn＝2an－4，所以n≥2时，有Sn－1＝2an－1－4，两式相减可得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，即an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，即＝2(n≥2)．因为S1＝a1＝2a1－4，所以a1＝4，所以an＝2n＋1．故选A．8．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn答案A解析解法一：由已知得an＋1－an＝ln1＋＝ln，而an＝(an－an－1)＋(an－1＋an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1，n≥2，所以an＝ln＋ln＋…＋ln＋2＝ln··…·＋2＝lnn＋2，n≥2．当n＝1时，a1＝2＝ln1＋2．故选A．解法二：由an＝an－1＋ln1＋＝an－1＋ln＝an－1＋lnn－ln(n－1)(n≥2)，可知an－lnn＝an－1－ln(n－1)(n≥2)．令bn＝an－lnn，则数列{bn}是以b1＝a1－ln1＝2为首项的常数列，故bn＝2，所以2＝an－lnn，所以an＝2＋lnn．故选A．9．已知数列{an}的通项公式为an＝nn，则数列{an}中的最大项为()A．B．C．D．答案A解析解法一(作差比较法)：an＋1－an＝(n＋1)n＋1－nn＝·n，当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1
a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．解法二(作商比较法)：＝＝1＋，令>1，解得n<2；令＝1，解得n＝2；令<1，解得n>2．又an>0，故a1a4>a5>…>an，所以数列{an}中的最大项为a2或a3，且a2＝a3＝2×2＝．故选A．10．已知数列{an}的通项公式为an＝2n2＋tn＋1，若{an}是单调递增数列，则实数t的取值范围是()A．(－6，＋∞)B．(－∞，－6)C．(－∞，－3)D．(－3，＋∞)答案A解析解法一：因为{an}是单调递增数列，所以对于任意的n∈N*，都有an＋1>an，即2(n＋1)2＋t(n＋1)＋1>2n2＋tn＋1，化简得t>－4n－2，所以t>－4n－2对于任意的n∈N*都成立，因为－4n－2≤－6，所以t>－6．故选A．解法二：设f(n)＝2n2＋tn＋1，其图象的对称轴为n＝－，要使{an}是递增数列，则－<，即t>－6．故选A．11．已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项an＝________．答案解析当n＝1时，a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝2n－1．此时对于n＝1不成立，故an＝12．对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)...
