专练59高考大题专练(八)不等式证明选讲1．[2020·全国卷Ⅱ][选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2．[2020·全国卷Ⅰ][选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)>f(x＋1)的解集．3．[2019·全国卷Ⅱ]已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x)<0，求a的取值范围．4.已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)<4的解集为M.(1)求M；(2)当a，b∈M时，证明：2|a＋b|<|4＋ab|.5．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解关于x的不等式f(x)>2；(2)若不等式f(x)≥ax＋－恒成立，求实数a的取值范围．专练59高考大题专练(八)不等式证明选讲1．解析：(1)当a＝2时，f(x)＝因此，不等式f(x)≥4的解集为.(2)因为f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|≥|a2－2a＋1|＝(a－1)2，故当(a－1)2≥4，即|a－1|≥2时，f(x)≥4.所以当a≥3或a≤－1时，f(x)≥4.当－1
f(x＋1)的解集为.3．解析：本题以绝对值函数为背景，主要考查绝对值不等式的解法，通过去绝对值号的过程着重考查学生的分类讨论思想，借助不等式恒成立问题考查学生的化归与转化思想，体现了数学运算的核心素养．(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|x＋|x－2|(x－1)．当x<1时，f(x)＝－2(x－1)2<0；当x≥1时，f(x)≥0.所以，不等式f(x)<0的解集为(－∞，1)．(2)因为f(a)＝0，所以a≥1.当a≥1，x∈(－∞，1)时，f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x－1)<0，所以，a的取值范围是[1，＋∞)．4．解析：(1)由|x＋1|＋|x－1|<4，得或或解得－20，即证(a2－4)(b2－4)>0.因为a，b∈(－2,2)，所以a2<4，b2<4，所以a2－4<0，b2－4<0，所以(a2－4)(b2－4)>0，所以原不等式成立．5．解：(1)f(x)＝当x≥4时，由x＋5>2，得x>－3，则x≥4；当－2，得x>，则2，得x<－7，则x<－7.综上，不等式f(x)>2的解集为.(2)因为f(x)＝画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，令y＝ax＋－，则y＋＝a的图象过定点P.由于函数y＝f(x)的最小值为－，不等式f(x)≥ax＋－恒成立，所以y＝ax＋－的图象恒在y＝f(x)的图象的下方，所以－1≤a≤1.
