高中数学第2章推理与证明2.1.2演绎推理自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.将下列演绎推理写成三段论的形式.(1)菱形的对角线互相平分;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线；(3)一切奇数都不能被2整除，39不能被2整除，所以39是奇数.思路解析：找到每个命题的大前提、小前提答案:(1)平行四边形的对角线互相平分，(2)一次函数的图象是一条直线，(3)一切不能被2整除的数都是奇数，2.下面推理正确的是()A.如果不买彩票，那么就不能中奖，因为你买了彩票，所以你一定中奖B.因为正方形的对角线互相平分且相等，所以对角线互相平分且相等的四边形是正方形C.因为a＞b,a＜c，所以a-b＜a-cD.因为a＞b,c＞d,所以a-d＞b-c思路解析：A.大前提与小前提不对应B.对角线互相平分且相等的四边形是正方形这一结论不是由正方形的对角线互相平分且相等得到,所以不符合三段论形式C.∵a＞b,a＜c,∴c＞b.∴-b＞-c.∴a-b＞a-c.D.∵c＞d,∴-c＜-d,即-d＞-c,又∵a＞b,∴a-d＞b-c正确答案:D3.指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数，.(2)无理数是无限小数，思路解析：判断大前提、小前提是否正确，是否对应答案:(1)大前提错误整数不一定是自然数，反过来自然数是整数应改为：大于或等于0的整数是自然数，1(2)大前提外延太大，应改为：4.用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.思路分析：本题省略了大前提，需补充上，由一般到特殊用三段论给出证明证明：因为任意三角形三内角之和为180°,(大前提)而直角三角形是三角形，(小前提)所以直角三角形三内角之和为180°(结论)设直角三角形两锐角为α和β，则α+β+90°=180°,∴α+β=90°5.如图2-1-13所示,已知空间四边形ABCD中，点E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.图2-1-13思路分析：要证线面平行，需找线线平行，由三角形的中位线与底边平行进行论证证明：连结BD，∵E、F分别为AB、AD的中点，∴EF∥BD∵EF平面BCD，BD平面BCD,∴EF∥平面BCD6.下列推理是否正确，将有错误的指出错误之处.(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD为矩形，则四个角都是直角.∴∠A+∠B+∠C+D=90°+90°+90°+90°=360°.∴四边形的内角和为360°.(2)已知和是无理数，试证：+也是无理数.证明：依题意知和都是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以+也必是无理数.(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，求证：a2+b2=c2.证明：∵a=csinA,b=ccosA,∴a2+b2=c2sin2A+c2cos2A=c2(sin2A+cos2A)=c2.思路分析：判断论证的对错需看大前提、小前提是否都正确，证明过程中，不能偷换论题，不能循环论证，不能出现虚假论据，不能以偏概全解：上述三个推理过程都错(1)在证明过程中偷换论题，将四边形改为矩形，以偏概全；(2)两无理数之和不一定为无理数；(3)a=csinA,b=ccosA这些结论都是有前提的,是在直角三角形中才成立，犯了循环论证的错误我综合我发展7.如图2-1-14所示，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，求证：ABCD是平行四边形.2图2-1-14思路分析：以已知公理、定理为依据，由三段论形式论证证明：连结AC，∵AB=CD且BC=AD，又∵AC=AC，∴△ABC≌△CDA.∴对应角相等，即∠1=∠2，∠3=∠4由∠1=∠2，∴AB∥CD；由∠3=∠4，∴AD∥BC∴ABCD为平行四边形8.如图2-1-15所示，三个拼在一起的正方形，求证：α+β=.图2-1-15思路分析：要证角相等，需证三角函数值相等，由正切函数解答证明：根据题意0＜α＜,0＜β＜.∴0＜α+β＜π.又tanα=,tanβ=,∴tan(α+β)=.∵0＜α+β＜π,∴在(0,π)内正切值等于1的角只有∴α+β=.9.数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1,an+1=.求证：(1)数列{}是等比数列；(2)Sn+1=4an.思路分析：已知的是an+1与Sn之间的关系，所证的是Sn，需将an+1换成Sn，它们之间的关系为an+1=Sn+1-Sn，再由定义完成证明：(1)∵an+1=Sn+1-Sn=，∴nSn+1=(2n+2)Sn=2(n+1)Sn.∴.3∴{}是以2为公比，以1为首项的等比数列(2)由(1)可知=2n-1,∴Sn=n·2n-1,Sn+1=(n+1)·2n,an=·2n-2=(n+1)·2n-2.∴4an=(n+1)2n.∴Sn+1=4an.4
