第四讲椭圆双曲线抛物线的定义及其运用【套路秘籍】---千里之行始于足下一．椭圆的定义1.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆．(2)若a＝c，则集合P为线段．(3)若ab>0）上一点P（x0，y0）（y0≠0）和焦点F1（－c,0），F2（c,0）为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则①|PF1|＋|PF2|＝2a.②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.③S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值为bc.④焦点三角形的周长为2（a＋c）．二．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.（1）当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；（2）当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；（3）当2a>|F1F2|时，P点不存在．三.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一椭圆的定义及其运用【例1】已知F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．（1）若点P到焦点F1的距离等于1，则点P到焦点F2的距离为__________；（2）过F1作直线与椭圆交于A，B两点，则的周长为__________；（3）若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．（4）设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．【解析】（1）由椭圆的标准方程可知：，，故，，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a，又|PF1|＝1，所以|PF2|＝4－1＝3（3）由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝1，|F1F2|＝2c＝2．在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|．①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|．②将②代入①解得|PF1|＝．所以S△PF1F2＝|PF1|·|F1F2|·sin120°＝××2×＝，（4）由椭圆方程知，a2＝4，b2＝3，∴c2＝1，∴c＝1，2c＝2.在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即4＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.①由椭圆的定义得4＝|PF1|＋|PF2|，即4＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.②②－①，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin60°＝【套路总结】1.善于利用椭圆的定义进行灵活运用，看到焦点可以考虑用定义，条件不够，定义来凑。2.求双曲线、椭圆中的焦点三角形△PF1F2面积的方法类型一：当已知角是、①根据双曲线、椭圆的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a、|PF1|+|PF2|＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|、|PF2|、|F1F2|之间满足的关系式；③通过配方，利用整体的思想方法求出|PF1|·|PF2|的值；④利用公式S△PF1F2＝×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积类型二：当有一边垂直于x轴时：利用公式S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|求得面积【举一反三】1．如图所示，F为双曲线C：=1的左焦点，双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A．9B．16C．18D．27【答案】C【解析】设右焦点为F′， 双曲线C上的点Pi与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F/P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F/P4|， |F/P6|﹣|P6F|=2a=6，|F/P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=182．已知椭圆C：的右焦点为F，点P(1,3)，若点Q是椭圆C上...
