压轴题(一)12．(2019·山东潍坊摸底考试)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(c＋a)∶(b＋c)＝6∶5∶4，给出下列结论：①△ABC被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3；④若b＋c＝8，则△ABC的面积是.其中正确结论的序号是()A．①③B．②③C．③④D．②③④答案B解析由已知可设a＋b＝6k，c＋a＝5k，b＋c＝4k(k>0)，则a＝k，b＝k，c＝k，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，所以sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3，所以③正确．又a，b，c的值不确定，所以①错误．在△ABC中，cosA＝＝－，A＝，所以②正确．因为b＋c＝8，所以b＝5，c＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝，所以④错误．16．(2019·湘赣十四校联考二)如图，正三棱锥P－ABC的高PO＝8，底面边长为4，M，N分别在BC和PO上，且PN＝2CM，当三棱锥N－AMC体积最大时，三棱锥N－AMC的内切球的半径为________．答案－3解析设CM＝x，VN－AMC＝S△AMC·NO＝×AC·CM·sin60°·(PO－PN)＝××4x××(8－2x)＝(4x－x2)，当x＝2时，VN－AMC取得最大值，此时M为BC的中点，AM经过点O，且NO＝4，AO＝，∴OM＝，NM＝，NA＝NC＝，则S△NAM＝4，S△NCM＝，S△NAC＝，S△CAM＝2，又∵(S△NAM＋S△NCM＋S△NAC＋S△CAM)·r＝VN－AMC，∴r＝－3.20．已知函数f(x)＝(x2＋ax＋1)ex.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若不等式f(x)≥x＋1恒成立，求实数a的取值范围．解(1)f′(x)＝(x＋1)(x＋a＋1)ex，令f′(x)＝0得x1＝－1，x2＝－1－a；①当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增；②当a>0时，在(－∞，－1－a)∪(－1，＋∞)上f′(x)>0，在(－1－a，－1)上f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，－1－a)和(－1，＋∞)上单调递增，在(－1－a，－1)上单调递减．③当a<0时，在(－1，－1－a)上f′(x)<0，在(－∞，－1)∪(－1－a，＋∞)上f′(x)>0，因此f(x)在(－1，－1－a)上单调递减，在(－∞，－1)和(－1－a，＋∞)上单调递增．(2)令g(x)＝f(x)－x－1，则g′(x)＝f′(x)－1，由于g(0)＝0，若g(x)≥0恒成立，则必有g′(0)＝0，得a＝0，此时f(x)＝(x2＋1)ex；则g′(x)＝(x＋1)2ex－1，记G(x)＝(x＋1)2ex－1，则G′(x)＝(x＋1)(x＋3)ex，则G(x)的单调性如下表：x(－∞，－3)－3(－3，－1)－1(－1，＋∞)G′(x)＋0－0＋G(x)单调递增－1单调递减－1单调递增而G(0)＝0，由单调性知x>0时g′(x)>0，g(x)单调递增；x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，g(x)≥g(0)＝0，因此f(x)≥x＋1；所以当a＝0时，f(x)≥x＋1恒成立，因此a＝0.21．(2019·湖南五市十校教研教改共同体12月联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y－＝0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过定点P(2,0)的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于点M，求证：∠PFM＝∠PFB.解(1)依题意可设圆C的方程为x2＋y2＝b2，∵圆C与直线x－y－＝0相切，∴b＝＝1.∴a2－c2＝1，由＝，解得a＝，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：依题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，代入＋y2＝1，整理得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，∵直线l与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，即2k2－1＜0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AF，BF的斜率分别为k1，k2，则x1＋x2＝，x1x2＝，∵F(1,0)，∴k1＋k2＝＋＝＋＝2k－k＝2k－k＝2k－k·＝2k－k·＝0，即∠PFM＝∠PFB.
