高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第2课时等比数列的性质INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"\*MERGEFORMATA级基础巩固一、选择题1．在等比数列{an}中，a2＝4，a7＝，则a3a6＋a4a5的值是()A．1B．2C.D.答案：C2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝()A．n(n＋1)B．n(n－1)C.D.解析：因为a2，a4，a8成等比数列，所以a＝a2·a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)·(a1＋7d)，将d＝2代入上式，解得a1＝2，所以Sn＝2n＋＝n(n＋1)．答案：A3．在等比数列{an}中，a7·a11＝6，a4＋a14＝5，则等于()A.B.C.或D．－或－解析：因为a7·a11＝a4·a14＝6，a4＋a14＝5，所以或所以q10＝＝或q10＝，所以＝q10＝或＝.答案：C4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为()A．10nB．n10C．100nD．n100解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)＝(100)＝10n.答案：A5．等比数列{an}中，an∈R＋，a4·a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为()A．10B．20C．36D．128解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1·a2·a3·…·a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.答案：B二、填空题6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．解析：由an＋1＞an⇒a1qn＞a1qn－1，因为a1＜0，1所以qn＜qn－1⇒qn＜0对任意正整数n都成立．所以q＞0且1－＜0解得：0＜q＜1.答案：0＜q＜17．已知在公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．解析：因为a5＋a9＝q，所以a4＋a8＝，所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2＝.答案：8．已知在等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝________．解析：a3a11＝4a7＝a，所以a7＝4(a7＝0舍去)，因为{bn}是等差数列，所以b7＝(b5＋b9)，又b7＝a7，所以b5＋b9＝8.答案：8三、解答题9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：因为a1a5＝a，a3a7＝a，所以由题意，得a－2a3a5＋a＝36，同理得a＋2a3a5＋a＝100，所以因为an>0，所以解得或分别解得或所以an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数．解：设三个数为，a，aq(a，q>0)，由题所以⇒a2＝21×＝36，所以a＝6，q＝2或，所以三个数为3，6，12或12，6，3.B级能力提升1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于()A．－24B．0C．12D．24解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.答案：A2．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．解析：设{an}的公差为d，则a3＋3＝a1＋1＋2d＋2，a5＋5＝a1＋1＋4d＋4，由题意可得(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)．2所以[(a1＋1)＋2(d＋1)]2＝(a1＋1)[(a1＋1)＋4(d＋1)]，所以(a1＋1)2＋4(d＋1)(a1＋1)＋[2(d＋1)]2＝(a1＋1)2＋4(a1＋1)(d＋1)，所以d＝－1，所以a3＋3＝a1＋1，所以公比q＝＝1.答案：13．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先将A中农药的倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.b1＝(a0＋4b0)，a1＝a0＋b1＝(4a0＋b0)；b2＝(a1＋4b1)，a2＝a1＋b2＝(4a1＋b1)；…bn＝(an－1＋4bn－1)．an＝(4an－1＋bn－1)，所以an－bn＝(an－1－bn－1)＝(a0－b0)·.因为a0－b0＝，所以an－bn＝·.依题意知·＜1%，n∈N*，解得n≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.3