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高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质练习(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题_第1页
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第2课时等比数列的性质INCLUDEPICTURE"课后作业.tif"\*MERGEFORMATA级基础巩固一、选择题1.在等比数列{an}中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是()A.1B.2C.D.答案:C2.等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.解析:因为a2,a4,a8成等比数列,所以a=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),将d=2代入上式,解得a1=2,所以Sn=2n+=n(n+1).答案:A3.在等比数列{an}中,a7·a11=6,a4+a14=5,则等于()A.B.C.或D.-或-解析:因为a7·a11=a4·a14=6,a4+a14=5,所以或所以q10==或q10=,所以=q10=或=.答案:C4.在1与100之间插入n个正数,使这n+2个数成等比数列,则插入的n个数的积为()A.10nB.n10C.100nD.n100解析:设这n+2个数为a1,a2,…,an+1,an+2,则a2·a3·…·an+1=(a1an+2)=(100)=10n.答案:A5.等比数列{an}中,an∈R+,a4·a5=32,则log2a1+log2a2+…+log2a8的值为()A.10B.20C.36D.128解析:log2a1+log2a2+…+log2a8=log2(a1·a2·a3·…·a8)=log2(a4a5)4=4log232=20.答案:B二、填空题6.等比数列{an}中,a1<0,{an}是递增数列,则满足条件的q的取值范围是______________.解析:由an+1>an⇒a1qn>a1qn-1,因为a1<0,1所以qn<qn-1⇒qn<0对任意正整数n都成立.所以q>0且1-<0解得:0<q<1.答案:0<q<17.已知在公比为q的等比数列{an}中,a5+a9=q,则a6(a2+2a6+a10)的值为________.解析:因为a5+a9=q,所以a4+a8=,所以a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a+a6a10=a+2a4a8+a=(a4+a8)2=.答案:8.已知在等比数列{an}中,a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且a7=b7,则b5+b9=________.解析:a3a11=4a7=a,所以a7=4(a7=0舍去),因为{bn}是等差数列,所以b7=(b5+b9),又b7=a7,所以b5+b9=8.答案:8三、解答题9.在正项等比数列{an}中,a1a5-2a3a5+a3a7=36,a2a4+2a2a6+a4a6=100,求数列{an}的通项公式.解:因为a1a5=a,a3a7=a,所以由题意,得a-2a3a5+a=36,同理得a+2a3a5+a=100,所以因为an>0,所以解得或分别解得或所以an=a1qn-1=2n-2或an=a1qn-1=26-n.10.三个正数成等比数列,它们的和等于21,倒数的和等于,求这三个数.解:设三个数为,a,aq(a,q>0),由题所以⇒a2=21×=36,所以a=6,q=2或,所以三个数为3,6,12或12,6,3.B级能力提升1.等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于()A.-24B.0C.12D.24解析:由题意知(3x+3)2=x(6x+6),即x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1(舍去),所以等比数列的前3项是-3,-6,-12,则第四项为-24.答案:A2.数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=________.解析:设{an}的公差为d,则a3+3=a1+1+2d+2,a5+5=a1+1+4d+4,由题意可得(a3+3)2=(a1+1)(a5+5).2所以[(a1+1)+2(d+1)]2=(a1+1)[(a1+1)+4(d+1)],所以(a1+1)2+4(d+1)(a1+1)+[2(d+1)]2=(a1+1)2+4(a1+1)(d+1),所以d=-1,所以a3+3=a1+1,所以公比q==1.答案:13.容器A中盛有浓度为a%的农药mL,容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL,A,B两容器中农药的浓度差为20%(a>b),先将A中农药的倒入B中,混合均匀后,再由B倒入一部分到A中,恰好使A中保持mL,问至少经过多少次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%?解:设第n次操作后,A中农药的浓度为an,B中农药的浓度为bn,则a0=a%,b0=b%.b1=(a0+4b0),a1=a0+b1=(4a0+b0);b2=(a1+4b1),a2=a1+b2=(4a1+b1);…bn=(an-1+4bn-1).an=(4an-1+bn-1),所以an-bn=(an-1-bn-1)=(a0-b0)·.因为a0-b0=,所以an-bn=·.依题意知·<1%,n∈N*,解得n≥6.故至少经过6次这样的操作,两容器中农药的浓度差小于1%.3

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