4.1.1导数与函数的单调性（1）一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A.y＝sin2xB.y＝xexC.y＝x3－xD.y＝－x＋ln(1＋x)解析：y＝xex，则y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)在(0，＋∞)上恒大于0.答案：B2．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是()解析：∵y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增的．答案：A3．函数y＝x2－lnx的单调减区间是()A.(0,1)B.(0,1)∪(－∞，－1)C.(－∞，1)D.(－∞，＋∞)解析：∵y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－，令y′<0，即x－<0，解得：00，∴00时，函数先增后减再增，导数先正后负再正，对照选项，应选D.答案：D二、填空题5．函数f(x)＝x3＋x2－5x－5的单调递增区间是__________．解析：令y′＝3x2＋2x－5>0，得x<－或x>1.答案：(－∞，－)，(1，＋∞)6．函数f(x)＝xlnx(x>0)的单调递增区间是________．解析：由f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1>0，解得x>.故f(x)的单调增区间是(，＋∞)．答案：(，＋∞)7．设函数f(x)＝x(ex－1)－x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)三、解答题8．证明：函数f(x)＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．证明：函数的定义域为{x|x>0}，又f′(x)＝(lnx＋x)′＝＋1，当x>0时，f′(x)>1>0，故y＝lnx＋x在其定义域内为单调递增函数．9．已知函数f(x)＝x2·ex－1＋ax3＋bx2，且x＝－2和x＝1是f′(x)＝0的两根．(1)求a，b的值：(2)求f(x)的单调区间．解：(1)因为f′(x)＝ex－1(2x＋x2)＋3ax2＋2bx＝xex－1(x＋2)＋x(3ax＋2b)，又x＝－2和x＝1为f′(x)＝0的两根，所以f′(－2)＝f′(1)＝0.故有，解方程组得a＝－，b＝－1.2(2)因为a＝－，b＝－1，∴f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)．令f′(x)＝0得x1＝－2，x2＝0，x3＝1.当x∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f′(x)<0，∴f(x)的单调递增区间为(－2,0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)和(0,1)．3
