【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第七章立体几何7.6空间直角坐标系课时规范训练文北师大版[A级基础演练]1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置在()A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．yOz平面上解析：由点的坐标的特征可得该点在xOz平面上．答案：C2．(2016·孝感模拟)在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：在坐标平面xOy内，可设点P(x，y,0)，由题意得＝，解得y＝－，x∈R.所以符合条件的点有无数个．答案：D3．(2016·襄州模拟)正方体不在同一表面上的两个顶点为A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积为()A．8B．27C．64D．128解析：设正方体的棱长为a，根据条件则有a＝，解得a＝4，所以体积为43＝64.答案：C4．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点为A(3，－1,2)，其中心为M(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：∵A(3，－1,2)，中心M(0,1,2)，∴C1(－3,3,2)．∴|AC1|＝2，∴棱长a＝＝.答案：5．点A(10,4，－2)关于点M(0,3，－5)对称的点的坐标是________．解析：设所求点为P(x，y，z)，则M是AP的中点．即即∴P(－10,2，－8)．答案：(－10,2，－8)6．在z轴上与点A(－4,1,7)和点B(3,5，－2)等距离的点C的坐标为________．解析：设点C的坐标为(0,0，z)，由条件得|AC|＝|BC|，即＝，解得z＝.答案：17．设正四棱锥S－P1P2P3P4的所有棱长均为a，建立适当的坐标系，求点S、P1、P2、P3和P4的空间坐标．解：以正四棱锥S－P1P2P3P4的高为z轴，以平行于底面相邻两边的直线为x轴，y轴建立空间直角坐标系如图所示，其中原点O为底面正方形的中心，P1P2⊥Oy轴，P1P4⊥Ox轴，SO在Oz轴上，∵d(P1，P2)＝a，而P1、P2、P3、P4均在xOy平面上．∴P1，P2.P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称．∴P3，P4.又∵|OP1|＝a.∴在Rt△SOP1中，|SO|＝＝a.∴S.8．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴N(1,0,2)，M(1,1,1)，∴|MN|＝＝.[B级能力突破]1．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为()A．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1，，0)解析：由于点Q在xOy内，故其竖坐标为0，又PQ⊥xOy平面，故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同，从而点Q的坐标为(1，，0)．答案：D22．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为()A.B.C.D.解析：由题知所求点即为AB1的中点，由于A(0,0,0)，B1(1，0,1)，所以AB1的中点坐标为.答案：B3．到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C(x，y，z)的坐标满足()A．x＋y＋z＝－1B．x＋y＋z＝1C．x＋y＋z＝4D．x＋y＋z＝0解析：到点A(－1，－1，－1)，B(1,1,1)的距离相等的点C应满足|CA|2＝|CB|2，即(x＋1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2，化简得x＋y＋z＝0.答案：D4．(2016·武汉模拟)如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．解析：由题意得M为AC1的中点．又A(0,0,0)，C1(2,3,2)，故M.答案：M5．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为，则该点的坐标为________．解析：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意得，|P0P|＝，即＝，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.∴点P坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)．答案：(9,0,0)或(－1,0,0)6．对于任意实数x，y，z则＋的最小值为________．解析：设P(x，y，z)，M(－1,2,1)，则＋＝|PO|＋|PM|，由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点，所以|PO|＋|PM|≥|OM|＝＝，即所求代数式的最小值为.答案：7．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标．解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因M在y轴上，可设M(0，y,0)，3由|MA|＝|MB|，可得＝，显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝＝，|AB|＝＝，于是＝，解得y＝±.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，M坐标为(0，，0)或(0，－，0).4
