第六节正弦定理和余弦定理【最新考纲】掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理2.三角形常用面积公式(1)S＝ɑ·hɑ(hɑ表示边ɑ上的高)；(2)S＝ɑbsinC＝ɑcsin_B＝bcsin_A．(3)S＝r(ɑ＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在△ABC中，∠A＞∠B必有sinA＞sinB．()(2)若△ABC中，ɑcosB＝bcosA，则△ABC是等腰三角形．()(3)△ABC中，若b2＋c2＞ɑ2，则△ABC为锐角三角形．()(4)在△ABC中，若A＝60°，ɑ＝4，b＝4，则∠B＝45°或∠B＝135°.()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×2．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＝sin2C，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：由正弦定理＋＝∴a2＋b2＝c2故△ABC为直角三角形．答案：B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为ɑ，b，c，已知A＝，ɑ＝1，b＝，则B＝________．解析：由正弦定理＝，代入得sinB＝，故B＝或B＝.故答案为或.答案：或5．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．解析：由题意及余弦定理得cosA＝＝＝，解得c＝2.所以S＝bcsinA＝×4×2×sin60°＝2.答案：2一条规律在△ABC中，A＞B⇔ɑ＞b⇔sinA＞sinB.两种途径判定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．两点注意1．已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其他边或角．可能有一解、两解、无解．在△ABC中，已知ɑ、b和A时，解的情况如下：2.在判定三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，以免漏解．一、选择题1．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：由正弦定理，得ɑ2＋b2＜c2，∴cosC＝＜0，则C为钝角，故△ABC为钝角三角形．答案：C2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝＞1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．答案：C3．(2016·长春三模)已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，若ɑ2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A.B．1C.D．2解析：∵ɑ2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4，∴△ABC的面积为bcsinA＝，故选C.答案：C4．(2016·兰州诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，且bsinA＝ɑcosB．则B＝()A.B.C.D.解析：根据题意结合正弦定理，得sinBsinA＝sinAcosB.因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，即＝tanB＝，所以B＝.答案：C5．(2014·课标全国Ⅱ卷)钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝()A．5B.C．2D．1解析：由题意知S△ABC＝AB·BC·sinB，则＝×1×sinB，解得sinB＝.∴B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝1.此时AC2＋AB2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意；当B＝135°时，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝12＋()2－2×1××＝5，解得AC＝.符合题意．答案：B二、填空题6．(2015·安徽卷)在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________．解析：∠C＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.答案：28．若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________．解析：由sinA＋sinB＝2sinC及正弦定理可得ɑ＋b＝2c.故cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3ɑ2＝2b2，即＝时等号成立．所以cosC的最小值为.答案：三、解答题10．(2016·河北衡水中学三模)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为ɑ，b，c，(ɑ＋b＋c)(ɑ－b＋c)＝ɑc.(1)求B；(2)若sinAsinC＝，求C.解：(1)因为(ɑ＋b＋c)(ɑ－b＋c)＝ɑc，所以ɑ2＋c2－b2＝－ɑc.由余弦定理得cosB＝＝－，因此为B为△ABC的内角，因B＝120°.(2)由(1)得A＋C＝60°，所以cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝.故A－C＝30°或A－C＝－30°，因此C＝15°或C＝45°.11．(2016·洛阳质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是ɑ，b，c，且b2＝ɑc＝ɑ2－c2＋bc.(1)求的值；(2)试判断△ABC的形状，并说明理由．解：(1)由b2＝ɑ2－c2＋bc，得cosA＝＝，在△ABC中，A＝.由b2＝ɑc，得＝，由正弦定理，sinA＝，∴＝sinA＝.(2)由b2＝ɑc，得c＝，代入b2＝ɑ2－c2＋bc，∴b2＝ɑ2－＋，整理得(ɑ－b)[ɑ2(ɑ＋b)＋b3]＝0，则ɑ＝b.由(1)知，A＝，所以△ABC为等边三角形．
