第4讲函数的奇偶性与周期性1．(2015年福建)下列函数为奇函数的是()A．y＝B．y＝exC．y＝cosxD．y＝ex－e－x2．已知函数f(x)的定义域为(3－2a，a＋1)，且f(x＋1)为偶函数，则实数a的值可以是()A.B．2C．4D．63．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝B．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)4．(2017年湖南衡阳八中二模)已知f(x)在R上满足f(x＋5)＝－f(x)，当x∈(0,5)时，f(x)＝x2－x，则f(2016)＝()A．－12B．－16C．－20D．05．(2016年四川)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则f＋f(1)＝________.6．(2016年江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f(x)＝其中a∈R.若f＝f，则f(5a)的值是________．7．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝______________.8．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)，f(x)＝log12(1－x)，则函数f(x)在(1,2)上的解析式是____________．9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图X241，请根据图象：图X241(1)写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间；(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(3)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．10．已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)试判断函数y＝f(x)的奇偶性；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数，并证明你的结论．12第4讲函数的奇偶性与周期性1．D解析：函数y＝和y＝ex是非奇非偶函数；y＝cosx是偶函数；y＝ex－e－x是奇函数．故选D.2．B解析：方法一，因为函数f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即函数f(x)关于x＝1对称，所以区间(3－2a，a＋1)关于x＝1对称，所以＝1，即a＝2.方法二，由y＝f(x)定义域知y＝f(x＋1)，定义域为(2－2a，a)，且为偶函数，∴2－2a＋a＝0.∴a＝2.3．D解析：由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图象关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图象无对称轴，B中函数图象的对称轴只有x＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图象关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．4．D解析：因为f(x＋5)＝－f(x)，所以f(x＋10)＝－f(x＋5)＝f(x)，f(x)的周期为10.因此f(2016)＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－4)＝－12.故选A.5．－2解析：因为函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，所以f(1)＝0.因为f＝f＝f＝－f＝－412＝－2，所以f＋f(1)＝－2.6．－解析：f＝f＝f＝f⇒－＋a＝－⇒a＝，因此f(5a)＝f(3)＝f(1)＝f(－1)＝－1＋＝－.7．－解析：当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，f(x)＝＝＝－.8．f(x)＝log12(x－1)解析：当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，f(－x)＝log12(1＋x)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log12(1＋x)，x∈(－1,0)；当x∈(1,2)时，x－2∈(－1,0)．又f(x)是定义在R上以2为周期的函数，所以f(x)＝f(x－2)＝log12(1＋x－2)＝log12(x－1)．9．解：(1)f(x)在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x＞0，则－x＜0，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x，∴f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2×(－x)＝x2－2x(x＞0)．∴f(x)＝(3)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，其图象的对称轴方程为x＝a＋1，当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；当1＜a＋1≤2，即0＜a≤1时，g(a＋1)＝－a2－2a＋1为最小值；当a＋1＞2，即a＞1时，g(2)＝2－4a为最小值．综上所述，g(x)min＝10．解：(1)若y＝f(x)为偶函数，则f(－x)＝f[2－(x＋2)]＝f[2＋(x＋2)]＝f(4＋x)＝f(x)．∴f(7)＝f(3)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾；因此f(x)不是偶函数．若y＝f(x)为奇函数，则f(0)＝f(－0)＝－f(0)．∴f(0)＝0，这与f(x)在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0矛盾．因此f(x)不是奇函数．综上所述，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2) f(x)＝...
