第二章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为()A．y＝B．y＝C．y＝xexD．y＝答案：D2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()答案：B3．函数f(x)＝的定义域是________________．答案：[4,5)∪(5，＋∞)4．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.解析： f(x)＝3x3＋2x＋1，∴f(a)＋f(－a)＝3a3＋2a＋1＋3(－a)3＋2×(－a)＋1＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝0.答案：01．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．设函数f(x)＝若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝________.解析：若a≥0，则＋1＝2，得a＝1；若a<0，则＋1＝2，得a＝－1.答案：±12．已知f＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝，∴x＝.∴f(t)＝＋.∴f(x)＝(x≠0)．答案：(x≠0)[题组练透]1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C由题意知，x2－x>0，即x<0或x>1.则函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，故选C.2．(2017·贵阳监测)函数y＝的定义域为()A．(－∞，1]B．[－1,1]C．[1,2)∪(2，＋∞)D.∪解析：选D由函数y＝得解得即－1≤x≤1且x≠－，所以所求函数的定义域为∪，故选D.3．若函数y＝f(x)的定义域是[1,2017]，则函数g(x)＝的定义域是()A．[0,2016]B．[0,1)∪(1,2016]C．(1,2017]D．[－1,1)∪(1,2016]解析：选B令t＝x＋1，则由已知函数的定义域为[1,2017]，可知1≤t≤2017.要使函数f(x＋1)有意义，则有1≤x＋1≤2017，解得0≤x≤2016，故函数f(x＋1)的定义域为[0,2016]．所以使函数g(x)有意义的条件是解得0≤x<1或1＜x≤2016.故函数g(x)的定义域为[0,1)∪(1，2016]．4．函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的定义域为____________________．解析：由⇒⇒0＜x≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．[典例引领](1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式；(2)已知f＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解：(1)(配凑法)由于f＝x2＋＝2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.(2)(换元法)令＋1＝t得x＝，代入得f(t)＝lg，又x>0，所以t>1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg，x>1.(3)(待定...
