高中数学竞赛讲义 立体图形、空间向量（练习题） 新人教A版VIP免费

ABCDEF§19立体图形，空间向量课后练习1．甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为()A,3827aB,38327aC,313aD,389a2．夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为()A,3:2:1B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:33．设二面角a的大小是060,P是二面角内的一点,P点到,的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱a的距离是()A,2213cmB,213cmC,23cmD,4213cm4．如图,E,F分别是正三棱锥ABCD的棱AB,BC的中点,且DEEF.若BC=a,则此正三棱锥的体积是()A,324aB,3224aC,3212aD,3312a5．棱长为的正八面体的外接球的体积是()A,6B,4327C,823D,236．若线段AB的两端点到平面的距离都等于2,则线段AB所在的直线和平面的位置关系是.7．若异面直线,ab所原角为060,AB是公垂线,E,F分别是异面直线,ab上到A,B距离为2和平共处的两点,当3EF时,线段AB的长为.8．如图(1),在直四棱柱1111ABCDABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时,有1AC1B1D(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)用心爱心专心CDFABOCDEOAABCDPQ9．如图(2),是一个正方体的展开图,在原正方体中,有下列命题:①AB与EF所连直线平行;②AB与CD所在直线异面;③MN与BF所在直线成060;④MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)10．如图,在ABC中,AB=AC=13,BC=10,DE//BC分别交AB,AC于D,E.将ADE沿DE折起来使得A到1A,且1ADEB为060的二面角,求1A到直线BC的最小距离.11．如图,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(0)a,PA平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQQD?并说明理由;(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQQD,求这时二面角QPDA的正切.用心爱心专心ABCDABCD图(1)ABENM图(2)课后习题答案1．过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点O为正四面体的中心,1O为底面ABC的中心,设正四面体VABC的棱长为m,则AM=32m=VM,1OM=1336AMm,12333OAAMm,221163VOVMOMm,得1163OOVOVOma在1RtAOO中,22211AOOOAO,即22263()()33amam,得263ma.则1VO43a,有20311183(sin60)3227VABCVmVOa.选B.温馨提示:正四面体外接球的半径VO:内切球的半径1OO=1:3:13aa.2．32212341::():(2):(2)2:3:133VVVRRRRR,选B.3．设PA棱a于点A,PM平面于点M,PN平面于点N,PA=t,PAM,则0sin1sin(60)2tt,得3cos5sin,有3sin27或327(舍去),所以121sin3tcm,选B.4．由DEEF,EF//AC,有DEAC,又ACBD,DEBD=D,得AC平面ABD.由对称性得090BACCADBAD,于是22ABACADa.3112222()3222224BACDVaaaa,选B.5．可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有22r,得22r,外接球的体积34233Vr,选D.用心爱心专心6．当2AB时,AB//;当2AB时,AB//或AB;当2AB时,AB//或与斜交.7．由EFEAABBF�,得22222cosEFEAABBFEABF�(1)当060时,有219412212AB�,得2AB�;(2)当0120时,有219412212AB�,得6AB�.8．ACBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9．将展开的平面图形还原为正方体NACFEMBD,可得只②,④正确.10．解:设ABC的高AO交DE于点1O,令1AOx,由AO=2213512,有112OOx,在11AOO中,01160AOO,有222011111112cos60AOAOOOAOOO得213(6)36AOx.当6x时,1A到直线BC的最小距离为6.11．解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系,设BQx,则Q(1,,0)x,P(0,0,1),D(0,,0)a得(1,,1)PQx�,(1,,0)QDax�由PQQD�,有(1,,1)(1,,0)0xax,得210xax①若方程①有解,必为正数解,且小于a.由2()40a,0a,得2a.(i)当2a时,BC上存在点Q,使PQQD;(ii)当02a时,BC上不存在点Q,使PQQD.(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQQD,则方程①有两个相等的实根,这时,2()40a,得2a,有1x.又平面APD的法向量1(1,0,0)n,设平面PQD的法向量为2(,,)nxyz而(1,1,0)QD�,(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1)PD�,由2200nQDnPD��,得(,,)(1,1,0)0(,,)(0,2,1)0xyzxyz,解得,2xyzy有2(1,1,2)n,则121212(1,0,0)(1,1,2)1cos,166nnnnnn,则12tan,5nn所以二面角用心爱心专心QPDA的正切为5.用心爱心专心