大题分层练(二)三角、数列、概率统计、立体几何(B组)1.在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=2,BD=,∠BCD=2∠ABD,△ABD的面积为2.(1)求AD的长.(2)求△CBD的面积.【解析】(1)由已知S△ABD=AB·BD·sin∠ABD=×2×sin∠ABD=2,所以sin∠ABD=,又∠ABD∈,所以cos∠ABD=,在△ABD中,由余弦定理得:AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos∠ABD=5,所以AD=.(2)由AB⊥BC,得∠ABD+∠CBD=,所以sin∠CBD=cos∠ABD=,又∠BCD=2∠ABD,sin∠BCD=2sin∠ABD·cos∠ABD=,∠BDC=π-∠CBD-∠BCD=π--2∠ABD=-∠ABD=∠CBD,所以△CBD为等腰三角形,即CB=CD,在△CBD中,由正弦定理得:=,所以CD===,S△CBD=CB·CD·sin∠BCD=×××=.2.在各项均为正数的等比数列{an}中,a1a3=64,a2+a5=72,数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】(1)设数列{an}的公比为q,因为a1a3=64,a2+a5=72,所以(a1q)2=64,a1q(1+q3)=72,所以q=2,a1=4,所以数列{an}的通项公式为an=4×2n-1=2n+1.当n=1时,b1=S1=1,当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=-=n.综上可得:bn=n.(2)cn===-.所以Tn=++…+=1-=.3.某中学举行了一次“中国诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中x,y的值.(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率.【解析】(1)由题意可知,样本容量n==50,y==0.004,x=三0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由题意可知,分数在[80,90)内的学生有5人,记这5人分别为a1,a2,a3,a4,a5,分数在[90,100]内的学生有2人,记这2人分别为b1,b2.抽取的2名学生的所有情况有21种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中2名学生的分数都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).所以所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的概率P=1-=.4.如图,在矩形ABCD中,点E为边AD上的点,点F为边CD的中点,AB=AE=AD=4,现将△ABE沿BE边折至△PBE位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(1)求证:平面PBE⊥平面PEF.(2)求四棱锥P-BCFE的体积.【解析】(1)在Rt△DEF中,因为ED=DF,所以∠DEF=45°.在Rt△ABE中,因为AE=AB,所以∠AEB=45°,所以∠BEF=90°,则EF⊥BE.因为平面PBE⊥平面BCDE,且平面PBE∩平面BCDE=BE,所以EF⊥平面PBE,因为EF⊂平面PEF,所以平面PBE⊥平面PEF.(2)过点P作PO⊥BE于点O,因为PO⊂平面PBE,平面PBE⊥平面BCDE且平面PBE∩平面BCDE=BE,所以PO⊥平面BCDE,所以四棱锥P-BCFE的高h=PO=2.S四边形BCFE=S矩形ABCD-S△ABE-S△DEF=6×4-×4×4-×2×2=14,则VP-BCFE=S四边形BCFE·h=×14×2=.
