高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第6讲 抛物线配套练习 文 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第6讲抛物线一、选择题1．(2016·全国Ⅱ卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.B．1C.D．2解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1,0)，由PF⊥x轴知，|PF|＝2，所以P点的坐标为(1,2)，代入曲线y＝(k>0)得k＝2，故选D.答案D2．点M(5,3)到抛物线y＝ax2(a≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()A．y＝12x2B．y＝12x2或y＝－36x2C．y＝－36x2D．y＝x2或y＝－x2解析分两类a>0，a<0可得y＝x2，y＝－x2.答案D3．(2017·宜春诊断)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝()A．9B．8C．7D．6解析抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.答案B4．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP＝4FQ，则|QF|等于()A.B.C．3D．2解析 FP＝4FQ，∴|FP|＝4|FQ|，∴＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝，∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C.答案C5．(2017·衡水金卷)已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值为()A．12B．24C．16D．32解析当直线的斜率不存在时，其方程为x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.当直线的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，综上可知，y＋y≥32.∴y＋y的最小值为32.故选D.答案D二、填空题6．(2016·兰州诊断)抛物线y2＝－12x的准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析由图可知弦长|AB|＝2，三角形的高为3，∴面积为S＝×2×3＝3.答案37．(2017·安徽四校三联)过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________．解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案88．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图平面直角坐标系，设抛物方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意将点A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2米．答案2三、解答题9．(2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；②求p的取值范围．(1)解 l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2,0)．即抛物线的焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)①证明设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)．则则∴kPQ＝＝，又 P，Q关于l对称．∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，∴＝－p，又 PQ的中点一定在l上，∴＝＋2＝2－p.∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)．②解 PQ的中点为(2－p，－p)，∴即∴即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根．∴Δ＞0.即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，故所求p的范围为.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)＋为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0)．由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.因为y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，所以x1x2＝＝＝.(2)＋＝＋＝.因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．11．(2017·汉中模拟)已知抛物线y2＝2...