第59讲几何概型[解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为(B)A．B．C．D．解析区间[－2,3]的长度为3－(－2)＝5，[－2,1]的长度为1－(－2)＝3，故满足条件的概率P＝.2．设p在[0,5]上随机地取值，则关于x的方程x2＋px＋1＝0有实数根的概率为(C)A．B．C．D．解析方程有实根，则Δ＝p2－4≥0，解得p≥2或p≤－2(舍去)．所以所求概率为＝.3．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sinx>1的概率为(C)A．B．C．D．解析 2sinx>1，x∈[0,2π]，∴x∈，∴p＝＝，故选C．4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是(D)A．B．πC．2πD．3π解析设阴影部分的面积为S1，圆的面积S＝π×32＝9π，由几何概型的概率计算公式得＝，得S1＝3π.5．(2018·北京昌平模拟)设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y＋2＝0的距离大于2的概率是(D)A．B．C．D．解析作出平面区域可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，－2)，C(－6，－2)为顶点的三角形区域，当点在△AED区域内时，点到直线y＋2＝0的距离大于2.P＝＝＝，故选D．6．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(C)1A．B．C．D．解析如图，数对(xi，yi)(i＝1,2，…，n)表示的点落在边长为1的正方形OABC内(包括边界)，两数的平方和小于1的数对表示的点落在半径为1的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得＝⇒π＝.故选C．二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M－ABCD的体积小于的概率为____.解析当VM－ABCD＝时，即×1×1×h＝，解得h＝，即点M到底面ABCD的距离小于，所以所求概率P＝＝.8．记集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}和集合B＝{(x，y)|x＋y－2≤0，x≥0，y≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域Ω2的概率为____.解析作圆O：x2＋y2＝4，区域Ω1就是圆O内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为＝.9．在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是____.解析设随机取出的两个数分别为x，y，则04或y－x<－4.作出区域2设“两船无需等待码头空出”为事件A，则P(A)＝＝.(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2或y－x>4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域则P(B)＝＝＝.11．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.①记“2≤a＋b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0,2]内任取2个实数x，y，求事件“x2＋y2>(a－b)2恒成立”的概率．解析(1)由题意共有小球n＋2个，标号为2的小球n个．从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是＝，解得n＝2.(2)①从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，则取出2个小球的可能情况共有12种结果，令满足“2≤a＋b≤3”为事件A，则事件A共有8种结果，故P(A)＝＝；②由①可知(a－b)2≤4，故x2＋y2>4，(x，y)可以...
