课时作业5向量的数量积时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)以下命题不正确的是(ABD)A．若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0B．若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0C．a与b是两个单位向量，则a2＝b2D．若△ABC是等边三角形，则AB，BC的夹角为60°解析：题述命题中只有C正确．因为|a|＝|b|＝1，所以a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，故a2＝b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b＝0，显然A，B错误；根据两个向量夹角的概念AB，BC的夹角应为120°.2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝(B)A．B．C．D．解析：因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝1＋4×＋4＝3，所以|a＋2b|＝.3．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD等于(D)A．－a2B．－a2C．a2D．a2解析：由题意得|BD|＝a，BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a·a·＝a2，选D．4．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于(B)A．－8B．8C．－8或8D．6解析：由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8.5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(A)A．B．C．D．π解析：设a，b夹角为θ，由条件，得(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－2b2－a·b＝0，即a·b＝3a2－2b2，又|a|＝|b|，所以a·b＝32－2b2＝b2，所以cosθ＝＝＝，所以θ＝.6．已知△ABC中，若AB2＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是(C)A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形解析：由AB2－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，得AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，即AB·CB＝BC·BC，∴AB·BC＋BC·BC＝0，∴BC·(AB＋BC)＝0，则BC·AC＝0，即BC⊥AC，所以△ABC是直角三角形，故选C．二、填空题7．已知|a|＝3，|b|＝4，则(a＋b)·(a－b)＝－7.解析：(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7.8．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为－.解析：设a，b夹角为θ， |a|＝3|b|＝|a＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，∴a·b＝－|b|2，∴cosθ＝＝＝－.9．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，·(2a－3b)＝12，则|b|＝；b在a方向上的投影等于1.解析：·(2a－3b)＝a2＋a·b－3b2＝12，即3|b|2－|b|－4＝0，解得|b|＝(舍负值)，b在a方向上的投影是|b|cos45°＝×＝1.三、解答题10．已知非零向量a、b满足(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，求a与b的夹角．解：由已知即②－①得23b2－46a·b＝0，∴b2＝2a·b，代入①得7a2＋16a·b－30a·b＝0，∴a2＝2a·b，从而a2＝b2，∴|a|＝|b|.∴cosθ＝＝＝，∴θ＝60°，故a与b的夹角为60°.11．已知e1、e2是夹角为120°的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝2e1－3e2.(1)求a·b的值；(2)求a＋b与a－b的夹角的大小．解：(1)a·b＝(3e1－2e2)·(2e1－3e2)＝6e－13e1·e2＋6e＝6－13cos120°＋6＝.(2)设a＋b与a－b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝0，所以θ＝90°，即a＋b与a－b的夹角为90°.——能力提升类——12．O为平面内的定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC是(B)A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形解析：设BC的中点为M，则化简(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，得到CB·(AB＋AC)＝CB·(2AM)＝2CB·AM＝0，即CB·AM＝0，∴CB⊥AM，∴AM是△ABC的边BC上的中线，也是高，故△ABC是以BC为底边的等腰三角形．13．若a，b是非零向量，且a⊥b，|a|≠|b|，则函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)是(A)A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数解析：f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝(a·b)x2＋(|b|2－|a|2)x－a·b，由a⊥b，得a·b＝0，所以f(x)＝(|b|2－|a|2)x.由于|a|≠|b|，所以|b|2－|a|2≠0，即f(x)＝(|b|2－|a|2)x是一次函数，显然也是奇函数．14．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量b与c的夹角为150°.解析：由题意画出图形如图，因为a，b的夹角为120°，所以∠...
