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高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 压轴题(三)文-人教版高三全册数学试题VIP免费

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压轴题(三)12.(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A(-2,0),B(2,0),若x轴上方的点P满足对任意λ∈R,恒有|AP-λAB|≥2成立,则P点的纵坐标的最小值为()A.B.C.1D.2答案D解析设P(x,y),则AP=(x+2,y),AB=(4,0),故AP-λAB=(x+2-4λ,y),|AP-λAB|≥2恒成立,即|AP-λAB|2≥4恒成立,则(x+2-4λ)2+y2-4≥0,故y2-4≥0,又由题意可知y>0,所以y≥2,即P点的纵坐标的最小值为2.故选D.16.(2019·湖北宜昌元月调考)已知函数f(x)=x2+(a-1)x-a,若函数g(x)=f[f(x)]有且仅有两个零点,则实数a的取值集合为________.答案{-1}解析由题意得f(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1),令f(x)=t,则函数g(x)=f[f(x)]可化为y=f(t),令f(t)=0,解得t1=1或t2=-a,即f(x)=1或f(x)=-a,因为函数g(x)=f[f(x)]有且仅有两个零点,所以f(x)=1与f(x)=-a共有两个不同的实数解,f(x)=-a可化为x2+(a-1)x=0,即f(x)=-a的根为x1=0或x2=1-a,要使得f(x)=1与f(x)=-a共有两个不同的实数解,则两方程的根必须相同.即-a=1时,才可以使得f(x)=-a的两根与f(x)=1的两个根相同,实数a的取值集合为{-1}.20.已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径.(1)求C点轨迹E的方程;(2)当AC不在y轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点.求证:△PQC恒为直角三角形.解(1)设C点坐标为(x,y),则B点坐标为.因为AC是直径,所以BA⊥BC,或C,B均在坐标原点,因此BA·BC=0,而BA=,BC=,故有-+2y=0,即x2=8y.另一方面,设C是曲线x2=8y上一点,则有|AC|==,AC中点的纵坐标为==,故以AC为直径的圆与x轴相切.综上可知,C点轨迹E的方程为x2=8y.(2)证明:设直线AC的方程为y=kx+2,由得x2-8kx-16=0,设C(x1,y1),P(x2,y2),则有x1x2=-16.由y=,对x求导知y′=,从而曲线E在P处的切线斜率k2=,直线BC的斜率k1==,于是k1k2===-1.因此QC⊥PQ,所以△PQC恒为直角三角形.21.已知函数f(x)=aelnx和g(x)=x2-(a+e)x(a>0).(1)设h(x)=f(x)+g(x),求函数h(x)的单调区间;(2)当x∈时,M为函数f(x)=aelnx图象与函数m(x)=2-图象的公共点,且在点M处有公共切线,求点M的坐标及实数a的值.解(1)h(x)=aelnx+x2-(a+e)x(x>0),h′(x)=+x-(a+e)==.①当00,函数h(x)在(0,a)上单调递增,在x∈(a,e)时,h′(x)<0,函数h(x)在(a,e)上单调递减;在x∈(e,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)在(e,+∞)上单调递增.②当a=e时,在x∈(0,+∞)时,h′(x)≥0,函数h(x)在(0,+∞)上单调递增.③当a>e时,在x∈(0,e)时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,e)上单调递增,在x∈(e,a)时,h′(x)<0,函数h(x)在(e,a)上单调递减;在x∈(a,+∞)时,h′(x)>0,函数h(x)在(a,+∞)上单调递增.综上:当0e时,函数h(x)的单调递增区间是(0,e)和(a,+∞),单调递减区间是(e,a).(2)设点M(x0,y0),x0>,在点M(x0,y0)处有公共切线,设切线斜率为k,因为f′(x)=,m′(x)=,所以k==,即ax0=1,由M(x0,y0)是函数f(x)=aelnx与函数m(x)=2-图象的公共点,所以y0=aelnx0=2-,化简可得aex0lnx0=2x0-e,将ax0=1代入,得elnx0-2x0+e=0,设函数u(t)=elnt-2t+e,u′(t)=-2=.因为t>,u′(t)<0,函数u(t)在上单调递减,因为u=eln>0,u(e2)=elne2-2e2+e=3e-2e2=e(3-2e)<0,所以在t∈时,u(t)=elnt-2t+e只有一个零点.由u(e)=elne-2e+e=0,知方程elnx0-2x0+e=0在x0∈上只有一个实数根为x0=e,代入y0=aelnx0=aelne=ae=1,所以M(e,1),此时a=.

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