压轴题(三)12．(2019·江西上饶重点中学六校第二次联考)已知A(－2，0)，B(2,0)，若x轴上方的点P满足对任意λ∈R，恒有|AP－λAB|≥2成立，则P点的纵坐标的最小值为()A.B.C．1D．2答案D解析设P(x，y)，则AP＝(x＋2，y)，AB＝(4,0)，故AP－λAB＝(x＋2－4λ，y)，|AP－λAB|≥2恒成立，即|AP－λAB|2≥4恒成立，则(x＋2－4λ)2＋y2－4≥0，故y2－4≥0，又由题意可知y>0，所以y≥2，即P点的纵坐标的最小值为2.故选D.16．(2019·湖北宜昌元月调考)已知函数f(x)＝x2＋(a－1)x－a，若函数g(x)＝f[f(x)]有且仅有两个零点，则实数a的取值集合为________．答案{－1}解析由题意得f(x)＝x2＋(a－1)x－a＝(x＋a)(x－1)，令f(x)＝t，则函数g(x)＝f[f(x)]可化为y＝f(t)，令f(t)＝0，解得t1＝1或t2＝－a，即f(x)＝1或f(x)＝－a，因为函数g(x)＝f[f(x)]有且仅有两个零点，所以f(x)＝1与f(x)＝－a共有两个不同的实数解，f(x)＝－a可化为x2＋(a－1)x＝0，即f(x)＝－a的根为x1＝0或x2＝1－a，要使得f(x)＝1与f(x)＝－a共有两个不同的实数解，则两方程的根必须相同．即－a＝1时，才可以使得f(x)＝－a的两根与f(x)＝1的两个根相同，实数a的取值集合为{－1}．20．已知过A(0,2)的动圆恒与x轴相切，设切点为B，AC是该圆的直径．(1)求C点轨迹E的方程；(2)当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证：△PQC恒为直角三角形．解(1)设C点坐标为(x，y)，则B点坐标为.因为AC是直径，所以BA⊥BC，或C，B均在坐标原点，因此BA·BC＝0，而BA＝，BC＝，故有－＋2y＝0，即x2＝8y.另一方面，设C是曲线x2＝8y上一点，则有|AC|＝＝，AC中点的纵坐标为＝＝，故以AC为直径的圆与x轴相切．综上可知，C点轨迹E的方程为x2＝8y.(2)证明：设直线AC的方程为y＝kx＋2，由得x2－8kx－16＝0，设C(x1，y1)，P(x2，y2)，则有x1x2＝－16.由y＝，对x求导知y′＝，从而曲线E在P处的切线斜率k2＝，直线BC的斜率k1＝＝，于是k1k2＝＝＝－1.因此QC⊥PQ，所以△PQC恒为直角三角形．21．已知函数f(x)＝aelnx和g(x)＝x2－(a＋e)x(a>0)．(1)设h(x)＝f(x)＋g(x)，求函数h(x)的单调区间；(2)当x∈时，M为函数f(x)＝aelnx图象与函数m(x)＝2－图象的公共点，且在点M处有公共切线，求点M的坐标及实数a的值．解(1)h(x)＝aelnx＋x2－(a＋e)x(x>0)，h′(x)＝＋x－(a＋e)＝＝.①当0
0，函数h(x)在(0，a)上单调递增，在x∈(a，e)时，h′(x)<0，函数h(x)在(a，e)上单调递减；在x∈(e，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(e，＋∞)上单调递增．②当a＝e时，在x∈(0，＋∞)时，h′(x)≥0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．③当a>e时，在x∈(0，e)时，h′(x)>0，函数h(x)在(0，e)上单调递增，在x∈(e，a)时，h′(x)<0，函数h(x)在(e，a)上单调递减；在x∈(a，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)在(a，＋∞)上单调递增．综上：当0e时，函数h(x)的单调递增区间是(0，e)和(a，＋∞)，单调递减区间是(e，a)．(2)设点M(x0，y0)，x0>，在点M(x0，y0)处有公共切线，设切线斜率为k，因为f′(x)＝，m′(x)＝，所以k＝＝，即ax0＝1，由M(x0，y0)是函数f(x)＝aelnx与函数m(x)＝2－图象的公共点，所以y0＝aelnx0＝2－，化简可得aex0lnx0＝2x0－e，将ax0＝1代入，得elnx0－2x0＋e＝0，设函数u(t)＝elnt－2t＋e，u′(t)＝－2＝.因为t>，u′(t)<0，函数u(t)在上单调递减，因为u＝eln>0，u(e2)＝elne2－2e2＋e＝3e－2e2＝e(3－2e)<0，所以在t∈时，u(t)＝elnt－2t＋e只有一个零点．由u(e)＝elne－2e＋e＝0，知方程elnx0－2x0＋e＝0在x0∈上只有一个实数根为x0＝e，代入y0＝aelnx0＝aelne＝ae＝1，所以M(e,1)，此时a＝.
