第三章圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.2抛物线的简单几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,若|AF|=54x0,则x0等于()A.1B.2C.4D.8解析抛物线C:y2=x的焦点为F(14,0), A(x0,y0)是C上一点,|AF|=54x0,∴54x0=x0+14,解得x0=1.答案A2.若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为()A.1B.2C.3D.4解析 P(x0,y0)在抛物线y2=4x上,∴y02=4x0,则点P与点(5,0)的距离d=√(x0-5)2+y02=√x02-10x0+25+4x0=√(x0-3)2+16. x0≥0,∴当x0=3时,点P与点(5,0)的距离最小,此时x0=3.答案C3.过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条解析(1)当过点P(0,1)的直线存在斜率时,设其方程为y=kx+1,由方程组{y=kx+1,y2=2x,消y得k2x2+(2k-2)x+1=0,①若k=0,则-2x+1=0,解得x=12,此时直线与抛物线只有一个交点(12,1);②若k≠0,令Δ=(2k-2)2-4k2=0,解得k=12,此时直线与抛物线相切,只有一个交点.(2)当过点P(0,1)的直线不存在斜率时,该直线方程为x=0,与抛物线相切,只有一个交点.综上,过点P(0,1)与抛物线y2=2x有且只有一个交点的直线有3条.答案B4.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且垂直于x轴的弦为AB,O为抛物线的顶点,则∠AOB的度数()A.小于90°B.等于90°C.大于90°D.不能确定解析设抛物线y2=2px的焦点为F,则其坐标为(p2,0),将x=p2代入抛物线的方程,解得A(p2,p),B(p2,-p).在直角三角形AOF中,|OF|<|AF|,故∠AOF>45°.由抛物线的对称性可知,∠AOB=∠AOF+∠BOF>45°+45°=90°.答案C5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的边长是.解析根据抛物线的对称性可知,正三角形另外两个顶点关于x轴对称,设一个顶点坐标为(y022,y0),边长为a,则有tanπ6=2y0y02,解得y0=2√3,故边长a=4√3.答案4√36.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=8,则p=.解析 F(p2,0),∴直线AB的方程为y=x-p2,将其与y2=2px联立,消去y,得x2-3px+p24=0.设A(xA,yA),B(xB,yB),由根与系数的关系知xA+xB=3p,xAxB=p24.|AB|=√2√(xA+xB)2-4xAxB=4p=8,解得p=2.答案27.(2019·全国Ⅰ,理19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.解设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F(34,0),故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.由{y=32x+t,y2=3x可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-12(t-1)9.从而-12(t-1)9=52,得t=-78.所以l的方程为y=32x-78.(2)由⃗AP=3⃗PB可得y1=-3y2.由{y=32x+t,y2=3x可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=13.故|AB|=4√133.8.如图,已知抛物线C:y2=2px过点A(1,1).(1)求抛物线C的方程.(2)过点P(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合).设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.解(1)由题意得2p=1,所以抛物线方程为y2=x.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=t(y+1)+3,代入抛物线方程,整理得y2-ty-t-3=0.因为Δ=(t+2)2+8>0,所以y1+y2=t,y1y2=-t-3.所以k1k2=y1-1x1-1·y2-1x2-1=y1-1y12-1·y2-1y22-1=1(y1+1)(y2+1)=1y1y2+y1+y2+1=1-t-3+t+1=-12,故k1k2是定值.能力提升练1.(多选题)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,AB是经过抛物线焦点F的弦,M是线段AB的中点,经过A,B,M作抛物线的准线l的垂线AC,BD,MN,垂足分别是C,D,N,其中MN交抛物线于点Q,连接QF,NF,NB,NA.下列说法正确的是()A.|MN|=12|AB|B.FN⊥ABC.Q是线段MN的一个三等分点D.∠QFM=∠QMF解析如图,由抛物线的定义,得|AC|=|AF|,|BD|=|BF|.又|MN|=|AC|+|BD|2,则|MN|=|AF|+|BF|2=12|AB|,A正确.由|MN|=12|AB|,|AM|=|MB|,得|MN|=|AM|,所以∠MAN=∠MNA.而∠MNA=∠CAN,所以∠MAN=∠CAN,所以△ANC≌△ANF,可知∠ACN=∠AFN=90°,所以FN⊥AB,B正确.在Rt△MNF中,|QN|=|QF|,可知∠QNF=∠QFN,所以∠QFM=∠QMF,D正确.由∠QFM=∠QMF,可知|QF|=|QM|,所以|NQ|=|QM|,即Q是MN的中点,故C不正确.答案ABD2.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F且倾斜角为150°的直线l与抛物线在第一、二象限分...
