第一节数系的扩充与复数的引入A级·基础过关|固根基|1.(2020届“四省八校联盟”高三联考)(1＋3i)(1－i)＝()A．4＋2iB．2＋4iC．－2＋2iD．2－2i解析：选A(1＋3i)(1－i)＝1＋3i－i－3i2＝4＋2i.2．已知复数(1＋2i)i＝a＋bi(a∈R，b∈R)，则a＋b＝()A．－3B．－1C．1D．3解析：选B因为(1＋2i)i＝－2＋i，所以a＝－2，b＝1，则a＋b＝－1，故选B.3．复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：选B∵＝＝1＋i，∴的共轭复数为1－i.4．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝()A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i解析：选C因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝＝＝＝1－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C.5．(2019届福建第一学期高三期末)若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝()A．－2B．－1C．1D．2解析：选A因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0且－≠0，解得a＝－2.故选A.6．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D∵＝＝，∴其共轭复数为－，∴复数的共轭复数对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.7．(2019届太原模拟试题)设复数z满足＝i，则z的共轭复数为()A．iB．－iC．2iD．－2i解析：选A设z＝a＋bi(a，b∈R)，因为＝i，所以1－z＝i＋zi，所以1－a－bi＝i＋ai－b，所以所以a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i.故选A.8．(2019届云南民族大学附属中学期中)复数z满足z(1－i)＝|1＋i|，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D因为z(1－i)＝|1＋i|，所以z＝＝＝＋i，所以z＝－i，所以复数z的共轭复数在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.9．已知i是虚数单位，复数＝________．解析：＝＝＝4－i.1答案：4－i10．已知i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则lg(a＋b)的值是________．解析：因为＝＝＝＝－i＝a＋bi，所以a＝，b＝－.所以lg(a＋b)＝lg1＝0.答案：011．(一题多解)(2019届重庆质量调研)已知i为虚数单位，复数z＝，则复数|z|＝________．解析：解法一：因为z＝＝＝＝1＋i，所以|z|＝＝.解法二：|z|＝＝＝＝.答案：12．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－5B级·素养提升|练能力|13.已知复数z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)，则“z为纯虚数”的一个充分不必要条件是()A．θ＝B．θ＝C．θ＝D．θ＝解析：选C∵z＝(cosθ－isinθ)(1＋i)＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，∴z是纯虚数等价于等价于θ＝＋kπ，k∈Z.故选C.14．(2019届成都第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是()A.B.C.D.解析：选D因为(x－2)＋yi是虚数，所以y≠0.又因为|(x－2)＋yi|＝，所以(x－2)2＋y2＝3.因为是复数x＋yi对应点的斜率，如图所示．所以＝tan∠AOB＝，所以的最大值为.15．已知i为虚数单位，复数z＝，则以下为真命题的是()A．z的共轭复数为－iB．z的虚部为C．|z|＝3D．z在复平面内对应的点在第一象限解析：选D∵z＝＝＝＋i，2∴z的共轭复数为－i，z的虚部为，|z|＝＝，z在复平面内对应的点为，在第一象限，故选D.16．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2018＝4×504＋2，所以z＝＝＝＝＝＝i，对应的点的坐标为(0，1)．答案：(0，1)3
