第5章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及坐标运算模拟创新题理一、选择题1.(2016·济宁高三期末)在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c解析AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝c＋(b－c)＝b＋c，故选A.答案A2.(2015·浙江慈溪余姚模拟)在△ABC中，设三边AB，BC，CA的中点分别为E，F，D，则EC＋FA＝()A.BDB.BDC.ACD.AC解析如图，EC＝(AC＋BC)，FA＝(CA＋BA)，所以EC＋FA＝BD.故选A.答案A3.(2015·广东佛山模拟)如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交其对角线于K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为()A.B.C.D.解析 AE＝AB，AF＝AD，则AB＝AE，AD＝2AF，由向量加法的平行四边形法则可知，AC＝AB＋AD，∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ＝λAE＋2λAF，由E，F，K三点共线可得，λ＝，故选A.答案A二、填空题4.(2016·黑龙江大庆模拟)设向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，若向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，则λ的值为________.解析由已知得a－λb＝(1－2λ，2－3λ)， 向量a－λb与向量c＝(－5，－6)共线，∴＝，解得λ＝.答案创新导向题利用向量的坐标运算求参数值5.设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则x＋y＝()A.0B.1C.2D.－2解析 a⊥c，b∥c，∴2x－4＝0，2y＋4＝0，解得x＝2，y＝－2，∴x＋y＝0.故选A.答案A平面向量基本定理的应用问题6.如图所示，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若OC＝λOE＋μOF，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝()A.B.C.D.1解析 AC＝3AE，∴OC－OA＝3OE－3OA，OE＝OA＋OC.同理可得：OF＝OB＋OC.代入OC＝λOE＋μOF，得OC＝λ·＋μ·，∴OC＝OA＋OB.又 OC＝OA＋OB，∴①＋②得λ＋μ＝.答案B专项提升测试模拟精选题一、选择题7.已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b()A.平行于x轴B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y轴D.平行于第二、四象限的角平分线解析a＋b＝(0，1＋x2)，∴a＋b平行于y轴，故选C.答案C8.(2015·广东江门质检)给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是()A.1B.C.D.2解析法一以O为原点，向量OA，OB所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设OA，OC＝θ，θ∈，则OA＝(1，0)，OB＝(0，1)，OC＝(cosθ，sinθ).由OC＝xOA＋yOB，∴∴x＋y＝cosθ＋sinθ＝sin，θ＋∈，∴x＋y的最大值为.法二因为点C在以O为圆心的圆弧AB上，所以|OC|2＝|xOA＋yOB|2＝x2＋y2＋2xyOA·OB＝x2＋y2＝1≥.所以x＋y≤.当且仅当x＝y＝时等号成立.答案B9.(2016·山东济南一模)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP＝OA＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心解析作∠BAC的平分线AD. OP＝OA＋λ，∴AP＝λ＝λ′·(λ′∈[0，＋∞))，∴AP＝·AD，∴AP∥AD.∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.答案B二、填空题10.(2016·广西南宁模拟)已知△ABC中，AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，BE＝3EC，若点P是BC边上的动点，则AP·AE的取值范围是________.解析 AB＝AC，BC＝4，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝30°，AB＝，又BE＝3EC，则BE＝BC，设BP＝tBC，则0≤t≤1，AP＝AB＋BP＝AB＋tBC，又AE＝AB＋BE＝AB＋BC，所以AP·AE＝(AB＋tBC)·＝AB2＋tBC·AB＋BC·AB＋tBC2＝＋t×4×cos150°＋×4×cos150°＋t×42＝4t－. 0≤t≤1，∴－≤4t－≤，即AP·AE的取值范围是.答案11.(2014·南通模拟)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，则角C＝________.解析因为p∥q，则(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，＝，结合余弦定理知，cosC＝，又0°
