课时素养评价五十一两角差的余弦公式(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分,共16分,多项选择题全选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.下列各式化简错误的是()A.cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos60°B.cos15°=cos45°cos30°+sin45°sin30°C.sin(α+45°)sinα+cos(α+45°)cosα=cos45°D.cos=cosα+sinα【解析】选D.根据两角差的余弦公式,A,B,C均正确,D选项错误.2.(多选题)若sinx+cosx=cos(x+φ),则φ的一个可能值是()A.-B.-C.πD.【解析】选A、C.对比公式特征知,cosφ=,sinφ=-,故φ=-,π都合适.3.已知sinα=,α∈,则cos等于()A.B.C.-D.-【解析】选B.由题意可知cosα=,cos=cos=cos=cosαcos+sinα·sin=×+×=.4.若α∈(0,π),且cos=,则cosα等于()A.B.C.D.【解析】选C.因为α∈(0,π)且cos=,所以sin=.cosα=cos=×+×=.二、填空题(每小题4分,共8分)5.已知sinα=,α是第二象限角,则tanα=________,cos(α-60°)=________.【解析】因为sinα=,α是第二象限角,所以cosα=-,所以tanα==-,cos(α-60°)=cosαcos60°+sinαsin60°=×+×=.答案:-6.化简:cos(α-55°)cos(α+5°)+sin(α-55°)sin(α+5°)=________.【解析】原式=cos[(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.答案:三、解答题(共26分)7.(12分)若x∈,且sinx=,求2cos+2cosx的值.【解析】因为x∈[,π],sinx=,所以cosx=-.所以2cos+2cosx=2+2cosx=2+2cosx=sinx+cosx=-=.8.(14分)已知tanα=4,cos(α+β)=-,α,β均为锐角,求cosβ的值.【解析】因为α∈,tanα=4,所以sinα=4cosα,①sin2α+cos2α=1,②由①②得sinα=,cosα=.因为α+β∈(0,π),cos(α+β)=-,所以sin(α+β)=.所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.所以cosβ=.(15分钟·30分)1.(4分)若sin=a,则cos=()A.-aB.aC.1-aD.1+a【解析】选B.cos=cos=coscos+sinsin=a.2.(4分)已知锐角α,β满足cosα=,cos(α+β)=-,则cos(2π-β)的值为()A.B.-C.D.-【解析】选A.因为α,β为锐角,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα=,sin(α+β)=,所以cos(2π-β)=cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=.3.(4分)若sinα=,α∈,则cos的值为()A.-B.-C.-D.-【解析】选B.因为sinα=,α∈,所以cosα=-=-=-,所以cos=coscosα+sinsinα,=×+×=-.4.(4分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sinα=,cos(α-β)=________.【解析】因为sinβ=sinα,cosβ=-cosα,所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-cos2α+sin2α=2sin2α-1=-.答案:-5.(14分)若sin=,cos=,且0<α<<β<,求sin(α+β)的值.【解析】因为0<α<<β<,所以<+α<π,-<-β<0,又sin=,cos=.所以cos=-,sin=-.所以sin(α+β)=-cos=-cos=-=-=.
