第二章等式与不等式习题课均值不等式的应用课后篇巩固提升基础达标练1.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则()A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b2解析由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤(1+a)+(1+b)22,所以1+x≤1+a+b2,故x≤a+b2.答案B2.已知正数x,y满足x+2y-xy=0,则x+2y的最小值为()A.8B.4C.2D.0解析由x+2y-xy=0,得2x+1y=1,且x>0,y>0.所以x+2y=(x+2y)×2x+1y=4yx+xy+4≥4+4=8,当且仅当x=2y,即x=4,y=2时等号成立.答案A3.若正实数a,b满足a+b=1,则()A.1a+1b有最大值4B.ab有最小值14C.❑√a+❑√b有最大值❑√2D.a2+b2有最小值❑√22解析因为正实数a,b满足a+b=1,所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b有最小值4,故A不正确;由均值不等式可得a+b=1≥2❑√ab,当且仅当a=b=12时,等号成立,∴ab≤14,故ab有最大值14,故B不正确;由于(❑√a+❑√b)2=a+b+2❑√ab=1+2❑√ab≤2,∴❑√a+❑√b≤❑√2,故❑√a+❑√b有最大值为❑√2,故C正确; a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-12=12,故a2+b2有最小值12,故D不正确.答案C4.(多选题)(2020辽宁高一月考)已知正数a,b满足a+b=4,ab的最大值为t,不等式x2+3x-t<0的解集为M,则下列结论正确的是()A.t=2B.t=4C.M={x|-40,b>0,下列不等式恒成立的是()A.a2+1>aB.(a+1a)(b+1b)≥4C.(a+b)(1a+1b)≥4D.a2+9>6a解析A中,由于a2+1-a=(a-12)2+34>0,∴a2+1>a,故A恒成立;B中,由于a+1a≥2,b+1b≥2,∴a+1ab+1b≥4,当且仅当a=b=1时,等号成立,故B恒成立;C中,由于a+b≥2❑√ab,1a+1b≥2❑√1ab,∴(a+b)1a+1b≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故C恒成立;D中,当a=3时,a2+9=6a,故D不恒成立.答案ABC6.已知一次函数y=-12x+1的图像分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值是,取得最值时a的值为.解析因为A(2,0),B(0,1),所以0≤b≤1,由题意得a=2-2b,ab=(2-2b)b=2(1-b)·b≤2·1-b+b22=12.当且仅当1-b=b,即b=12时等号成立,此时a=1,因此当b=12,a=1时,ab的最大值为12.答案1217.某公司一年需购买某种货物200吨,平均分成若干次进行购买,每次购买的运费为2万元,一年的总存储费用数值(单位:万元)恰好为每次的购买吨数数值,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次购买该种货物的吨数是.解析设每次购买该种货物x吨,则需要购买200x次,则一年的总运费为200x×2=400x,一年的总存储费用为x,所以一年的总运费与总存储费用为400x+x≥2❑√400x·x=40,当且仅当400x=x,即x=20时等号成立,故要使一年的总运费与总存储费用之和最小,每次应购买该种货物20吨.答案208.如图某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室,温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道,沿前侧内墙保留3米宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?解设矩形的一边长为x米,则另一边长为800x米,因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)米,长为800x-2米.由{x-4>0,800x-2>0得40,b>0,a+b=1,求证:(1)1a+1b+1ab≥8;(2)1+1a1+1b≥9.证明(1)因为a+b=1,a>0,b>0,所以1a+1b+1ab=21a+1b.所以1a+1b=a+ba+a+bb=2+ab+ba≥2+2=4,所以1a+1b+1ab≥8当且仅当a=b=12时等号成立.(2)方法一因为a>0,b>0,a+b=1,所以1+1a=1+a+ba=2+ba,同理1+1b=2+ab,所以1+1a1+1b=2+ba2+ab=5+2ba+ab≥5+4=9.所以1+1a1+1b≥9当且仅当a=b=12时等号成立.方法二1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab,由(1)知,1a+1b+1ab≥8,故1+1a1+1b=1+1a+1b+1ab≥9.当且仅当a=b=12时取等号.能力提升练1.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金,某顾客要购买10g黄金,售货员先将5g的砝码放在左盘,将黄金放于右盘使之平衡后给顾客,然后又将5g的砝码...
