2018年高考数学一轮复习第九章计数原理与概率、随机变量及其分布课时达标57二项式定理理[解密考纲]对二项式定理的考查主要涉及利用通项公式求展开式、特定项或参数值，利用二项式的性质求多项式的二项式系数、各项系数的和，一般以选择题、填空题的形式出现．一、选择题1．二项式10的展开式中的常数项是(A)A．180B．90C．45D．360解析：10的展开式的通项为Tk＋1＝C·()10－k·k＝2kCx5－k，令5－k＝0，得k＝2，故常数项为22C＝180.2．设n为正整数，2n展开式中存在常数项，则n的一个可能取值为(B)A．16B．10C．4D．2解析：2n展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx2n－k·k＝C(－1)kx，令＝0，得k＝，依据选项知n可取10.3.6的展开式的第二项的系数为－，则－2x2dx的值为(B)A．3B．C．3或D．3或－解析：该二项展开式的第二项的系数为Ca5，由Ca5＝－，解得a＝－1，因此－2x2dx＝x2dx＝＝－＋＝.,4.(2017·山西四校二联)已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(D)A．－5B．5,C．90D．180解析：∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，∴a8＝C·22＝180，故选D．,5.若(＋)5展开式的第三项为10，则y关于x的函数图象的大致形状为(D),解析：(＋)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxy，则T3＝Cxy＝10，即xy＝1，由题意知x≥0，故D选项的图象符合．,6.在(2x＋xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120，则x＝(C),A．1B．,C．1或D．－1,解析：二项式系数最大的项为第5项，由题意可知T5＝C(2x)4(xlgx)4＝1120，∴x4(1＋lgx)＝1，两边取对数可知lg2x＋lgx＝0，得lgx＝0或lgx＝－1，故x＝1或x＝.,二、填空题7.已知关于x的二项式n展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a的值为2.解析：∵二项式n展开式的二项式系数之和为32，∴2n＝32，∴n＝5，∵Tr＋1＝C()5－rr＝Carx－r，∴－r＝0，∴r＝3.∴常数项为Ca3＝80，∴a＝2.8．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为2.1解析：将6展开，得到Tr＋1＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由Ca3b3＝20，得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2.9．若二项式n的展开式中的常数项是80，则该展开式中的二项式系数之和等于32.解析：对于Tr＋1＝C()n－rr＝C2rx－，当r＝n时展开式为常数项，因此n为5的倍数，不妨设n＝5m，则有r＝3m，则23mC＝80，因此m＝1，则该展开式中的二项式系数之和等于2n＝25＝32.三、解答题10．已知在n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解析：(1)依题意知n的展开式的通项为Tr＋1＝C()n－rr＝rCx，又第6项为常数项，则当r＝5时，＝0，即＝0，解得n＝10.(2)由(1)得Tr＋1＝rCx，令＝2，解得r＝2，故含x2的项的系数为2C＝.(3)若Tr＋1为有理项，则有∈Z，且0≤r≤10，r∈Z.故r＝2,5,8.则展开式中的有理项分别为C2x2＝x2，C5＝－，C8x－2＝x－2.11．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝C＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.12．已知n，(1)展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析：(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.∴n＝7或n＝14，2当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.∴T4的系数为C423＝，T5的系数为C324＝70，当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.∴T8的系数为C727＝3432.(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，∵12＝12(1＋4x)12，∴∴9.4≤k≤10.4，∵k∈N，∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C·2·210·x10＝16896x10.3
