习题课--抛物线方程及性质的综合应用课后训练案巩固提升A组1.设AB为过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,则|AB|的最小值为()A.B.pC.2pD.无法确定解析:由抛物线定义可求得,垂直于对称轴的通径最短,即当x=,y=±p时,|AB|min=2p.答案:C2.以抛物线y2=2px(p>0)的焦半径|MF|为直径的圆与y轴的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定解析:由抛物线定义知|MF|=xM+,所以半径r=,而圆心为MF的中点,圆心到y轴的距离为=r,故该圆与y轴相切.答案:B3.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值等于()A.8B.8C.4D.4解析:依题意F(2,0),所以直线方程为y=x-2,联立得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则||AF|-|BF||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|==8.答案:A4.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|+|BF|=3,得x1+x2+=3,所以x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为.答案:C5.如图,1抛物线的顶点在坐标原点,焦点为F,过抛物线上一点A(3,y)向准线作垂线,垂足为B,若△ABF为等边三角形,则抛物线的标准方程是()A.y2=xB.y2=xC.y2=2xD.y2=4x解析:设抛物线方程为y2=2px,取AB的中点为D,由A(3,y),B,得D.因为△ABF为等边三角形,所以FD⊥AB.又F,所以,解得p=2,故抛物线方程为y2=4x.答案:D6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=.解析:直线y=x-,则所以x2-3px+=0,|AB|=8=x1+x2+p,所以4p=8,p=2.答案:27.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的最小值是.解析:设直线方程为x=ky+4,与抛物线的方程联立得y2-4ky-16=0,∴y1+y2=4k,y1y2=-16.∴=(y1+y2)2-2y1y2=16k2+32.故最小值为32.答案:328.过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,求|AB|的值.解由抛物线y2=8x知,p=4.设A(x1,y1),B(x2,y2),根据抛物线定义知,|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以x1+x2=|AB|-p.由条件知=3,则x1+x2=6,所以|AB|-p=6.又因为p=4,所以|AB|=10.2综上可知,|AB|的值是10.9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明:直线AC经过坐标原点O.证明抛物线的焦点为F.设直线AB的方程为x=my+,代入抛物线方程,得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2. BC∥x轴,且点C在准线上,∴C,则kCO=.又由=2px1,得kAO=,故kCO=kAO,即直线AC经过坐标原点O.10.导学号90074072如图,已知动圆M过定点F(0,1)且与x轴相切,点F关于圆心M的对称点为F',动点F'的轨迹为C.(1)求曲线C的方程;(2)设A(x0,y0)是曲线C上的一个定点,过点A任意作两条倾斜角互补的直线,分别与曲线C相交于另外两点P,Q.证明:直线PQ的斜率为定值.(1)解设点F'的坐标为(x,y). 点F'与点F(0,1)关于点M对称,∴点M的纵坐标为. ☉M与x轴相切,∴☉M的半径长为. 线段FF'是☉M的直径,∴|FF'|=2×=y+1,即=y+1,整理,得x2=4y,即曲线C的方程为x2=4y.(2)证明设点P(x1,y1),Q(x2,y2),如图.根据题意,知直线AP的斜率存在,设为k1,则直线AP的方程为y-y0=k1(x-x0).将其与x2=4y联立并消去y,得x2-4k1x+4k1x0-4y0=0,该方程有两个根x0,x1,则x0+x1=4k1,∴x1=4k1-x0. 直线AP,AQ的倾斜角互补,∴直线AQ的斜率为-k1.3同理,可得x2=-4k1-x0,∴x1+x2=-2x0,∴直线PQ的斜率kPQ==-.根据题意,知x0为定值,∴直线PQ的斜率为定值.B组1.抛物线y2=4x的焦点为F,过F且倾斜角为的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则AF的长为()A.2B.4C.6D.8解析:过点A作AA1⊥准线l,则AA1=AF,过点F作FB⊥AA1,则∠BFA=30°.所以BA=|AF|. A1B=|AF|=p=2,∴|AF|=4.答案:B2.抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分成长是m和n的两部分,则m与n的关系是()A.m+n=mnB.m+n=4C.mn=4D.无法确定解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),当焦点弦与抛物线的轴垂直时,m=2,n=2,∴m+n=mn.当焦点弦与抛物线的轴不垂直时,设焦点弦所在直线方程为y=k(x-1)(k≠0).把y=k(x-1)代入y2=4x并整理,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1x2=1. m=x1+1,n=x2+1,∴x1=m-1,x2=n-1,代入x1x2=1,得(m-1)(n-1...
