2017高考数学一轮复习第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲平面向量的应用习题A组基础巩固一、选择题1．若O为空间中一定点，动点P在A，B，C三点确定的平面内且满足(OP－OA)·(AB－AC)＝0，则点P的轨迹一定过△ABC的()A．外心B.内心C．重心D．垂心[答案]D[解析]由已知得AP·CB＝0，∴AP⊥CB，∴AP为BC边上高线，故选D.2．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是()A．等边三角形B.等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形[答案]C[分析]根据向量式寻找△ABC的边或角之间的关系．[解析]由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，所以AC⊥BA，所以A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．3．已知点A(－2,0)、B(3,0)，动点P(x，y)满足PA·PB＝x2，则点P的轨迹是()A．圆B.椭圆C．双曲线D．抛物线[答案]D[解析]PA＝(－2－x，－y)，PB＝(3－x，－y)，∴PA·PB＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6.4．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且OM·ON＝0(O为坐标原点)，则A等于()A.B.πC.πD．π[答案]B[解析]由题意知M(，A)，N(π，－A)，又OM·ON＝×π－A2＝0，∴A＝π.5．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，AB＝(a－1)e1＋e2，AC＝be1－2e2(a＞0，b＞0)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是()A．2B.4C．6D．8[答案]B[分析]由A，B，C三点共线，得a，b的关系式，再利用基本不等式，即可求出＋的最小值．[解析]因为A，B，C三点共线，所以(a－1)×(－2)＝1×b，所以2a＋b＝2.因为a＞0，b＞0，所以＋＝·(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当＝，即a＝，b＝1时取等号)．6．(2015·山东)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝()A．－a2B.－a2C.a2D．a2[答案]D[解析]在菱形ABCD中，BA＝CD，BD＝BA＋BC，所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.二、填空题7．已知在△ABC中，AB＝a，AC＝b，a·b＜0，S△ABC＝，|a|＝3，|b|＝5，则∠BAC＝________.[答案]150°[解析] AB·AC＜0，∴∠BAC为钝角，又S△ABC＝|a||b|sin∠BAC＝.∴sin∠BAC＝，∴∠BAC＝150°.8．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4＝________.[答案](1,2)[解析]由物理知识知：f1＋f2＋f3＋f4＝0，故f4＝－(f1＋f2＋f3)＝(1,2)．9．(2015·山东)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则PA·PB＝________.[答案][解析]在平面直角坐标系xOy中作出圆x2＋y2＝1及其切线PA，PB，如图所示．连接OA，OP，由图可知|OA|＝|OB|＝1，|OP|＝2，|PA|＝|PB|＝，∠APO＝∠BPO＝，则PA，PB的夹角为，所以PA·PB＝|PA||PB|＝cos＝××＝.10．(2015·甘肃秦安二中检测)已知向量a＝(sinx,1)，b＝(t，x)，若函数f(x)＝a·b在区间[0，]上是增函数，则实数t的取值范围是________.[答案][－1，＋∞)[解析]由f(x)＝a·b＝tsinx＋x，得f′(x)＝tcosx＋1，因为函数f(x)在区间[0，]上是增函数，所以f′(x)≥0在区间[0，]上恒成立，即tcosx＋1≥0恒成立，即t≥－在[0，)上恒成立，所以t≥(－)max，所以t≥－1.三、解答题11．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1，求证：△P1P2P3是正三角形.[答案]略[解析]由已知条件可得OP1＋OP2＝－OP3，两边平方，得OP1·OP2＝－.同理OP2·OP3＝OP3·OP1＝－.∴|P1P2|＝|P2P3|＝|P3P1|＝.从而△P1P2P3是正三角形．12．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝(，－)，n＝(sinx，cosx)，x∈(0，).(1)若m⊥n，求tanx的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值．[答案](1)1(2)[解析](1) m⊥n，∴m·n＝0.故sinx－cosx＝0，∴tanx＝1.(2) m与n的夹角为，∴cos〈m，n〉＝＝＝，故sin(x－)＝.又x∈(0，)，∴x－∈(－，)，x－＝，即x＝，故x的值为.B组能力提升1．已知非零向量AB与AC满足(＋)·BC＝0且·＝，则△ABC为()A．三边均不相等的三角形B.直角三角形C．等腰非等边三角...
